22. (8分)(2024·河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度$h(m)$满足关系式$h = -5t^{2}+v_{0}t$，其中$t(s)$是物体运动的时间，$v_{0}(m/s)$是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1) 小球被发射后
$\frac{v_{0}}{10}$
s时离地面的高度最大；(用含$v_{0}$的式子表示)
(2) 若小球离地面的最大高度为$20m$，求小球被发射时的速度；
(3) 按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为$3s$.”已知实验楼高$15m$，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
答案：22.(1)$\frac{v_{0}}{10}$
(2)因为$h=-5t^{2}+v_{0}t=-5(t-\frac{v_{0}}{10})^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{20}$，且小球离地面的最大高度为$20m$，所以$\frac{v_{0}^{2}}{20}=20$，解得$v_{0}=20$(负值舍去).故小球被发射时的速度为$20m/s$.
(3)小明的说法不正确.理由如下：在$h=-5t^{2}+20t$中，令$h = 15$，得$-5t^{2}+20t = 15$.整理，得$t^{2}-4t + 3=0$，解得$t_{1}=1$，$t_{2}=3$，所以两次间隔的时间为$3 - 1=2(s)$，所以小明的说法不正确.
23. (8分)(2025·河南)在二次函数$y = ax^{2}+bx - 2$中，$x$与$y$的几组对应值如表所示.
(1) 求该二次函数的表达式；
(2) 求该二次函数图像的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图像；
(3) 将该二次函数的图像向右平移$n$个单位长度后，当$0\leqslant x\leqslant3$时，若图像对应的函数最大值与最小值的差为$5$，请直接写出$n$的值.
答案：23.(1)把点$(-2,-2)$，$(1,1)$分别代入$y=ax^{2}+bx - 2$，得$\begin{cases}4a-2b-2=-2\\a + b-2=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 2\end{cases}$，所以该二次函数的表达式为$y=x^{2}+2x - 2$.
(2)因为$y=x^{2}+2x - 2=(x + 1)^{2}-3$，所以该二次函数图像的顶点坐标为$(-1,-3)$.画图略.
(3)将该二次函数的图像向右平移$n$个单位长度后，所得图像的函数表达式为$y=(x + 1 - n)^{2}-3$.当$x = 0$时，$y=n^{2}-2n - 2$；当$x = 3$时，$y=n^{2}-8n + 13$；当$x=n - 1$时，$y=-3$.因为当$0\leq x\leq3$时，图像对应的函数最大值与最小值的差为$5$，所以分类讨论如下：
①当$n - 1\leq0$，即$n\leq1$时，$n^{2}-8n + 13-(n^{2}-2n - 2)=5$，解得$n=\frac{5}{3}$(不合题意，舍去)；
②当$0＜n - 1\leq\frac{3}{2}$，即$1＜n\leq\frac{5}{2}$时，$n^{2}-8n + 13-(-3)=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$($n=4+\sqrt{5}$不合题意，舍去)；
③当$\frac{3}{2}＜n - 1\leq3$，即$\frac{5}{2}＜n\leq4$时，$n^{2}-2n - 2-(-3)=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$($n=1-\sqrt{5}$不合题意，舍去)；
④当$n - 1＞3$，即$n＞4$时，$n^{2}-2n - 2-(n^{2}-8n + 13)=5$，解得$n=\frac{10}{3}$(不合题意，舍去).
综上所述，$n$的值为$4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$.
