6. 已知两个直角三角形的三边长分别为 $ 3 $，$ 4 $，$ m $ 和 $ 6 $，$ 8 $，$ n $，且这两个直角三角形不相似，则 $ m + n $ 的值为(
A
)
A.$ 10 + \sqrt{7} $ 或 $ 5 + 2\sqrt{7} $
B.15
C.$ 10 + \sqrt{7} $
D.$ 15 + 3\sqrt{7} $
答案：6.A
解析：
情况一：直角三角形（3，4，m）
若m为斜边：$m=\sqrt{3^2+4^2}=5$
若4为斜边：$m=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
情况二：直角三角形（6，8，n）
若n为斜边：$n=\sqrt{6^2+8^2}=10$
若8为斜边：$n=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$
不相似条件分析
当$m=5$，$n=10$时，两三角形相似（3:6=4:8=5:10），舍去。
当$m=5$，$n=2\sqrt{7}$时，两三角形不相似，$m+n=5+2\sqrt{7}$。
当$m=\sqrt{7}$，$n=10$时，两三角形不相似，$m+n=10+\sqrt{7}$。
当$m=\sqrt{7}$，$n=2\sqrt{7}$时，两三角形相似（3:6=√7:2√7），舍去。
结论
$m+n=10+\sqrt{7}$或$5+2\sqrt{7}$
A
7. (2025·四川泸州)如图，在边长为 $ 2 $ 的正方形 $ ABCD $ 中，$ E $ 为 $ AB $ 的中点，$ F $ 为 $ CE $ 上的点，且 $ DF = DC $，则 $ AF $ 的长为(
B
)
A.$ \frac{2\sqrt{10}}{9} $
B.$ \frac{2\sqrt{10}}{5} $
C.$ \frac{4\sqrt{10}}{15} $
D.$ \frac{4\sqrt{10}}{9} $
答案：7.B
解析：
解：以点$A$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
∵正方形$ABCD$边长为$2$，
∴$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$。
∵$E$为$AB$中点，
∴$E(1,0)$。
设直线$CE$的解析式为$y=kx+b$，
将$C(2,2)$，$E(1,0)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=2\\k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=-2\end{cases}$，
∴直线$CE$：$y=2x-2$。
设$F(m,2m-2)$，
∵$DF=DC=2$，$D(0,2)$，
∴$\sqrt{(m-0)^2+(2m-2-2)^2}=2$，
即$m^2+(2m-4)^2=4$，
整理得$5m^2-16m+12=0$，
解得$m_2=\frac{6}{5}$（$m_1=2$为点$C$，舍去），
∴$F(\frac{6}{5},\frac{2}{5})$。
则$AF=\sqrt{(\frac{6}{5}-0)^2+(\frac{2}{5}-0)^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{40}{25}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
答案：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
8. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\tan \angle BAC = \frac{1}{2}$，$ AD = 2 $，$ BD = 4 $，连接 $ CD $，则 $ CD $ 长的最大值为(
B
)
A.$ 2\sqrt{5} + \frac{3}{4} $
B.$ 2\sqrt{5} + 1 $
C.$ 2\sqrt{5} + \frac{3}{2} $
D.$ 2\sqrt{5} + 2 $
答案：8.B
9. (2025·山东烟台)如图，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像与 $ x $ 轴的一个交点 $ A $ 位于点 $ (-2,0) $ 和 $ (-1,0) $ 之间，顶点 $ P $ 的坐标为 $ (1,n) $. 给出下列结论：① $ abc ＜ 0 $；② 对于任意实数 $ m $，都有 $ am^2 + bm - a - b \geqslant 0 $；③ $ 3b ＜ 2c $；④ 若该二次函数的图像与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ B $，且 $\triangle PAB$ 是等边三角形，则 $ n = -\frac{3}{a} $. 其中正确的是(
D
)
A.①②
B.①③
C.①④
D.①③④
答案：9.D 解析：由题意，得$-\frac{b}{2a}＞0$，所以$ab＜0$。因为该抛物线与$y$轴的交点在$x$轴上方，所以$c＞0$，所以$abc＜0$，故①正确；由题图可知，对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c\leq a+b+c$，即$am^2+bm-a-b\leq0$，故②错误；由题意，得$-\frac{b}{2a}=1$，所以$a=-\frac{b}{2}$。因为当$x=-1$时，$y＞0$，所以$a-b+c＞0$，所以$-\frac{3}{2}b+c＞0$，所以$3b＜2c$，故③正确；设$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$。因为$\triangle PAB$是等边三角形，$P(1,n)$，所以$n=\sqrt{3}(1-x_1)=\sqrt{3}(x_2-1)$，所以$\sqrt{3}(x_2-x_1)=2n$，所以$3(x_2-x_1)^2=4n^2$，所以$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{4}{3}n^2$。因为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，所以$4-\frac{4c}{a}=\frac{4}{3}n^2$，所以$1-\frac{c}{a}=\frac{1}{3}n^2$。因为$a+b+c=n$，所以$-a+c=n$，所以$1-\frac{c}{a}=\frac{1}{3}(-a+c)^2$，所以$\frac{3(a-c)}{a}=(a-c)^2$。因为$a\neq c$，所以$a-c\neq0$，所以$\frac{3}{a}=a-c$，所以$c=a-\frac{3}{a}$，所以$n=-a+c=-a+(a-\frac{3}{a})=-\frac{3}{a}$，故④正确。
10. 亮点原创 新素养
运算能力 如图，已知 $ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $，$···$，$ A_n $，$ A_{n + 1} $ 是 $ x $ 轴上的点，且 $ OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = ··· = A_nA_{n + 1} = 1 $，分别过点 $ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $，$···$，$ A_n $，$ A_{n + 1} $ 作 $ x $ 轴的垂线，交直线 $ y = 2x $ 于点 $ B_1 $，$ B_2 $，$ B_3 $，$···$，$ B_n $，$ B_{n + 1} $，连接 $ A_1B_2 $，$ B_1A_2 $，$ A_2B_3 $，$ B_2A_3 $，$···$，$ A_nB_{n + 1} $，$ B_nA_{n + 1} $，依次相交于点 $ P_1 $，$ P_2 $，$ P_3 $，$···$，$ P_n $. 若 $\triangle A_1B_1P_1$，$\triangle A_2B_2P_2$，$\triangle A_3B_3P_3$，$···$，$\triangle A_nB_nP_n$ 的面积依次记为 $ S_1 $，$ S_2 $，$ S_3 $，$···$，$ S_n $，则 $ S_{2025} $ 等于(
D
)
A.$ \frac{2025}{4051} $
B.$ 675\frac{4725}{6074} $
C.$ 1012\frac{1013}{4049} $
D.$ 1012\frac{1013}{4051} $
答案：10.D 解析：由题意，得$B_1(1,2)$，$B_2(2,4)$，$B_3(3,6)$，$···$，$B_n(n,2n)$。因为$A_1B_1// A_2B_2$，所以$\angle B_1A_1P=\angle A_2B_2P_1$，$\angle A_1B_1P=\angle B_2A_2P_1$，所以$\triangle A_1B_1P_1∼\triangle B_2A_2P_1$。因为$\frac{A_1B_1}{B_2A_2}=\frac{1}{2}$，所以$\triangle A_1B_1P$与$\triangle B_2A_2P_1$对应高的比为$1:2$。因为$A_1A_2=1$，所以$\triangle A_1B_1P$中边$A_1B_1$上的高为$\frac{1}{3}$，所以$S_1=S_{\triangle A_1B_1P_1}=\frac{1}{2}×2×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$。同理可得$S_2=S_{\triangle A_2B_2P_2}=\frac{1}{2}×4×\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$，$S_3=S_{\triangle A_3B_3P_3}=\frac{1}{2}×6×\frac{3}{7}=\frac{9}{7}$，$···$。因为$S_1=\frac{1}{3}=\frac{1^2}{2×1+1}$，$S_2=\frac{4}{5}=\frac{2^2}{2×2+1}$，$S_3=\frac{9}{7}=\frac{3^2}{2×3+1}$，$···$，所以$S_{2025}=\frac{2025^2}{2×2025+1}=1012\frac{1013}{4051}$。
11. (2024·山东济宁)将抛物线 $ y = x^2 - 6x + 12 $ 向下平移 $ k(k ＞ 0) $ 个单位长度. 若平移后得到的抛物线与 $ x $ 轴有公共点，则 $ k $ 的取值范围是
k≥3
.
答案：11.$k\geq3$
解析：
将抛物线$y = x^2 - 6x + 12$向下平移$k(k＞0)$个单位长度，得到的抛物线解析式为$y = x^2 - 6x + 12 - k$。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta \geq 0$时，抛物线与$x$轴有公共点。
在$y = x^2 - 6x + 12 - k$中，$a = 1$，$b = -6$，$c = 12 - k$，则$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(12 - k) = 36 - 48 + 4k = 4k - 12$。
令$\Delta \geq 0$，即$4k - 12 \geq 0$，解得$k \geq 3$。
$k\geq3$
