22. (8分)(2024·四川广安)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，如图为测量示意图(点A，B，C，D，E均在同一平面内，AB⊥BC).已知斜坡CD的长为20 m，坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端点A的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC = 30 m，求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，$\sqrt{3}$≈1.73)
答案：22.过点D分别作DF⊥AB于点F，DG⊥BE于点G，则∠AFD = ∠BFD = ∠BGD = 90°。因为AB⊥BC，所以∠B = 90°，所以四边形BGDF是矩形，所以BG = DF，BF = DG。因为CD = 20m，∠DCG = 60°，所以BF = DG = CD·sin∠DCG = 10$\sqrt{3}$m≈17.3m，CG = CD·cos∠DCG = 10m。因为BC = 30m，所以DF = BG = BC + CG = 40m。因为∠ADF = 20°，所以AF = DF·tan∠ADF≈14.4m，所以AB = AF + BF = 31.7m≈32m。故该风力发电机塔杆AB的高度约为32m。
23. (8分)如图，小明在点A测得点C在点A的北偏西75°方向，并由点A向南偏西45°方向行走到达点B，测得点C在点B的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2 km后到达点D，测得点C在点D的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离.(结果精确到0.1 km，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732)
答案：23.由题意，得∠BAC = 180° - 75° - 45° = 60°，∠ABC = 45° + 45° = 90°，∠CBD = 90° - 45° = 45°，∠BDC = 90° - 22.5° = 67.5°，所以∠BCD = 180° - ∠CBD - ∠BDC = 67.5°，所以∠BDC = ∠BCD，所以BC = BD = 2km，所以AC = $\frac{BC}{sin∠BAC}$ = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$km≈2.3km。故A，C两点之间的距离约为2.3km。
解析：
解：由题意，得∠BAC = 180° - 75° - 45° = 60°，∠ABC = 45° + 45° = 90°，∠CBD = 90° - 45° = 45°，∠BDC = 90° - 22.5° = 67.5°。
在△BCD中，∠BCD = 180° - ∠CBD - ∠BDC = 180° - 45° - 67.5° = 67.5°，所以∠BDC = ∠BCD，故BC = BD = 2km。
在Rt△ABC中，sin∠BAC = $\frac{BC}{AC}$，则AC = $\frac{BC}{sin∠BAC}$ = $\frac{2}{sin60°}$ = $\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ≈ $\frac{4×1.732}{3}$ ≈ 2.3km。
答：A，C两点之间的距离约为2.3km。
24. (8分)新素养
推理能力 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE = DC.
(1)求证：DC为⊙O的切线；
(2)若OA = 4，OE = 2，求cos D的值.
答案：24.(1)连接OC。因为OA = OC，所以∠A = ∠OCA。因为DE = DC，所以∠DCE = ∠DEC。因为∠OEA = ∠DEC，所以∠OEA = ∠DCE。因为OD⊥AB，所以∠AOD = 90°，所以∠A + ∠OEA = 90°，所以∠OCA + ∠DCE = 90°，所以∠OCD = 90°，所以DC为⊙O的切线。
(2)设DE = DC = x。因为OE = 2，所以OD = OE + DE = 2 + x。因为∠OCD = 90°，所以OC² + DC² = OD²。因为OC = OA = 4，所以4² + x² = (2 + x)²，解得x = 3，所以DC = 3，OD = 5，所以cosD = $\frac{DC}{OD}$ = $\frac{3}{5}$。
