23. (8 分)已知一次函数 $ y = kx + 4 $ 与二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图像的一个交点坐标为 $ (1,2) $，另一个交点是该二次函数图像的顶点。
(1)求 $ k $，$ a $，$ c $ 的值；
(2)过点 $ A(0,m) $($ 0 ＜ m ＜ 4 $)且垂直于 $ y $ 轴的直线与二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图像相交于 $ B $，$ C $ 两点，$ O $ 为原点。记 $ W = OA^2 + BC^2 $，求 $ W $ 关于 $ m $ 的函数表达式，并求 $ W $ 的最小值。
答案：23.（1）把点$(1,2)$代入$y = kx + 4$，得$k + 4 = 2$，解得$k=-2$．因为二次函数$y=ax^{2}+c$的图像的顶点$(0,c)$在一次函数$y=-2x + 4$的图像上，所以$c = 4$，所以二次函数$y=ax^{2}+c$即为$y=ax^{2}+4$．把点$(1,2)$代入$y=ax^{2}+4$，得$a + 4 = 2$，解得$a=-2$．综上所述，$k=-2$，$a=-2$，$c = 4$．
（2）由（1），得二次函数表达式为$y=-2x^{2}+4$．令$y=m$，得$2x^{2}+m - 4 = 0$，所以$x=\pm\sqrt{\frac{4 - m}{2}}$．设$B$，$C$两点的坐标分别为$(x_{1},m)$，$(x_{2},m)$，则$BC=\vert x_{1}-x_{2}\vert=2\sqrt{\frac{4 - m}{2}}$，所以$W=OA^{2}+BC^{2}=m^{2}+4×\frac{4 - m}{2}=m^{2}-2m + 8$．故$W$关于$m$的函数表达式为$W=m^{2}-2m + 8(0＜m＜4)$．因为$W=m^{2}-2m + 8=(m - 1)^{2}+7$，$0＜m＜4$，所以当$m = 1$时，$W$取得最小值$7$．
24. (8 分)新趋势 情境素材 为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴 120 元。老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物。考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本 $ y $(元)与种植面积 $ x $(亩)之间满足一次函数关系，且当 $ x = 160 $ 时，$ y = 840 $；当 $ x = 190 $ 时，$ y = 960 $。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；(不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围)
(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过 240 亩。若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到 2160 元，则当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的利润最大？最大利润为多少？(每亩种植利润 = 每亩销售额 - 每亩种植成本 + 每亩种植补贴)
答案：24.（1）设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b$．因为当$x = 160$时，$y = 840$；当$x = 190$时，$y = 960$，所以$\begin{cases}160k + b = 840,\\190k + b = 960.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 4,\\b = 200,\end{cases}$所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y = 4x + 200$．
（2）设老张明年种植该作物的利润为$w$（元）．由题意，得$w=[2160-(4x + 200)+120]· x=-4x^{2}+2080x=-4(x - 260)^{2}+270400$．因为$-4＜0$，$0\leq x\leq240$，所以当$x = 240$时，$w$取最大值，且最大值为$-4×(240 - 260)^{2}+270400=268800$．故当种植面积为$240$亩时，老张明年种植该作物的利润最大，最大利润为$268800$元．
25. (5 分)在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90° $，$ AB = 17 $，$ BC = 8 $，矩形 $ CDEF $ 的另外三个顶点 $ D $，$ E $，$ F $ 均在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 的边上，且相邻两边长的比为 $ 1:2 $。画出符合题意的图形，并直接写出所画矩形的周长。
答案：25.因为$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 17$，$BC = 8$，所以$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=15$．不妨设点$D$，$E$，$F$分别在边$BC$，$AB$，$AC$上，则$EF// BC$，所以$\triangle AEF∼\triangle ABC$，所以$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$．设$EF = x$．分类讨论如下：①如图①，当$EF:CF = 1:2$时，$CF = 2x$，则$AF = AC - CF = 15 - 2x$，所以$\frac{x}{8}=\frac{15 - 2x}{15}$，解得$x=\frac{120}{31}$，所以$EF=\frac{120}{31}$，$CF=\frac{240}{31}$，所以$C_{矩形CDEF}=2(EF + CF)=\frac{720}{31}$；②如图②，当$CF:EF = 1:2$时，$CF=\frac{1}{2}x$，则$AF = AC - CF=15-\frac{1}{2}x$，所以$\frac{x}{8}=\frac{15-\frac{1}{2}x}{15}$，解得$x=\frac{120}{19}$，所以$EF=\frac{120}{19}$，$CF=\frac{60}{19}$，所以$C_{矩形CDEF}=2(EF + CF)=\frac{360}{19}$．
