1. 如图，在平面直角坐标系中，$O$是原点，一次函数$y = kx + b$的图像分别与$x$轴、$y$轴交于$A$，$B$两点。若$\sin\angle OAB=\frac{4}{5}$，则$k$的值为(
B
)
A.$\frac{4}{3}$
B.$-\frac{4}{3}$
C.$-\frac{3}{5}$
D.$-\frac{3}{4}$
答案：1. B
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,0)$，点$B$的坐标为$(0,b)$，其中$a＞0$，$b＞0$。
在$Rt\triangle OAB$中，$OA = a$，$OB = b$，$AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。
因为$\sin\angle OAB=\frac{OB}{AB}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{4}{5}$，所以$\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{16}{25}$，即$25b^{2}=16a^{2}+16b^{2}$，化简得$9b^{2}=16a^{2}$，则$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，即$b=\frac{4}{3}a$。
一次函数$y = kx + b$的斜率$k=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{3}$。
答案：B
2. 如图，在平面直角坐标系中，$O$是原点，一次函数$y = kx + b$的图像与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像交于$A$，$B$两点，与$x$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(n,6)$，点$C$的坐标为$(-2,0)$，且$\tan\angle ACO = 2$。
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求点$B$的坐标；
（3）在$x$轴上是否存在点$E$，使$\vert AE - BE\vert$取最大值？若存在，请求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：2. (1) 过点A作AD⊥x轴于点D，则∠ODA = 90°，
所以$\tan \angle ACO = \frac{AD}{CD} = 2$. 因为$A(n, 6)$，所以
$AD = 6$，所以$CD = 3$. 因为$C(-2, 0)$，所以$OC =2$，所以$OD = CD - OC = 1$，所以$A(1, 6)$. 把点
$A(1, 6)$代入$y = \frac{m}{x}$，得$m = 6$，所以该反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}$. 把点$A(1, 6), C(-2, 0)$分别代
入$y = kx + b$，得$\begin{cases}k + b = 6, \\-2k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2, \\b = 4,\end{cases}$所以该
一次函数的表达式为$y = 2x + 4$.
(2) 联立方程组$\begin{cases}y = 2x + 4, \\y = \frac{6}{x}\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -3, \\y = -2\end{cases}$或
$\begin{cases}x = 1, \\y = 6,\end{cases}$
所以点B的坐标为$(-3, -2)$.
(3) 作点B$(-3, -2)$关于x轴的对称点$B'$，连接
$AB'$并延长，则当E为$AB'$的延长线与x轴的交点
时，$|AE - BE|$取最大值. 设直线$AB'$的函数表达式
为$y = px + q$. 把点$A(1, 6), B'(-3, 2)$分别代入
$y = px + q$，得$\begin{cases}p + q = 6, \\-3p + q = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}p = 1, \\q = 5,\end{cases}$所以直线
$AB'$的函数表达式为$y = x + 5$. 在$y = x + 5$中，令
$y = 0$，得$x + 5 = 0$，解得$x = -5$，所以$E(-5, 0)$. 故
存在满足题意的点E，且点E的坐标为$(-5, 0)$.
3. （2023·湖南常德）如图，在平面直角坐标系中，$O$是原点，二次函数的图像与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(5,0)$两点，与$y$轴交于点$C$，顶点为$D$，连接$AC$，$BC$，$BD$，$CD$。已知$\tan\angle ACO=\frac{1}{5}$。
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求四边形$ACDB$的面积；
（3）$P$是抛物线上的一点，且在第一象限内。若$\angle ACO=\angle PBC$，求点$P$的坐标。
答案：3. (1) 因为二次函数的图像与x轴交于$A(-1, 0)$，
$B(5, 0)$两点，所以可设该二次函数的表达式为
$y = a(x + 1)(x - 5)$. 因为$\angle AOC = 90°$，所以
$\tan \angle ACO = \frac{OA}{OC} = \frac{1}{5}$. 因为$OA = 1$，所以$OC = 5$，
