1. (教材 P115 练习 2 变式)已知跷跷板长为 6 m，当跷跷板的一端碰到地面时，跷跷板与地面的夹角为 $26^{\circ}$，则跷跷板的另一端离地面的高度约为(参考数据：$\sin 26^{\circ}\approx 0.438$，$\cos 26^{\circ}\approx 0.899$，$\tan 26^{\circ}\approx 0.488$)(
A
)
A.$2.63$ m
B.$2.62$ m
C.$2.93$ m
D.$2.92$ m
答案：A
解析：
设跷跷板的另一端离地面的高度为$h$ m。
跷跷板长为$6$ m，当一端碰到地面时，跷跷板与地面的夹角为$26^{\circ}$，此时另一端离地面的高度$h$与跷跷板长度构成直角三角形的对边与斜边关系。
根据正弦函数定义：$\sin 26^{\circ}=\frac{h}{6}$，则$h = 6×\sin 26^{\circ}$。
已知$\sin 26^{\circ}\approx 0.438$，所以$h\approx 6×0.438 = 2.628\approx 2.63$ m。
A
2. (2025·江苏泰州模拟)如图，钓鱼竿 $AC$ 长 6 m，露在水面上的鱼线 $BC$ 长 $3\sqrt{2}$ m，钓者把鱼竿 $AC$ 逆时针转动 $15^{\circ}$到 $AC'$的位置，此时露在水面上的鱼线 $B'C'$的长度是($BC$，$B'C'$均垂直于水面)(
B
)
A.$3$ m
B.$3\sqrt{3}$ m
C.$2\sqrt{3}$ m
D.$4$ m
答案：B 解析:连接AB,AB',则∠ABC=∠AB'C'=90°.因为BC=3$\sqrt{2}$m,AC=6m,所以sin∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以∠CAB=45°.由旋转的性质，得AC'=AC=6m,∠C'AC=15°,所以∠C'AB'=∠CAB+∠C'AC=60°,所以B'C′=AC′·sin∠C'AB'=3$\sqrt{3}$m.故此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是3$\sqrt{3}$m.
3. 如图，一单摆在重力作用下处于 $OA$ 处(与水平线垂直). 若单摆摆动到 $OB$ 处，旋转角为 $\theta$，此时点 $B$ 相对于点 $A$ 高度上升了 $a$ cm，则单摆的长度为
$\frac{a}{1−cosθ}$
cm. (用含 $\theta$ 与 $a$ 的代数式表示)
答案：$\frac{a}{1−cosθ}$
解析：
解：设单摆长度为 $ l $ cm。
在 $ OA $ 处，点 $ A $ 到水平线的距离为 $ l $ cm。
摆动到 $ OB $ 处，点 $ B $ 到水平线的距离为 $ l\cos\theta $ cm。
点 $ B $ 相对于点 $ A $ 高度上升 $ a = l - l\cos\theta $，即 $ a = l(1 - \cos\theta) $。
解得 $ l = \frac{a}{1 - \cos\theta} $。
$\frac{a}{1−\cosθ}$
4. 新素养
几何直观 如图，矩形 $ABCD$ 表示某小型汽车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 $ADE$ 可以绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，当旋转角为 $70^{\circ}$时，箱盖 $ADE$ 落在 $AD'E'$的位置. 已知 $AD = 60$ cm，$CD = 40$ cm，则点 $D'$到 $BC$ 的距离约为
96.4
cm. (参考数据：$\sin 70^{\circ}\approx 0.94$，$\cos 70^{\circ}\approx 0.34$)
答案：96.4 解析:如图,过点D'作D'G⊥BC于点G,交AD于点H,则∠D'GC=90°.因为四边形ABCD是矩形,所以∠C=∠D=90°,AD//BC,所以四边形CDHG是矩形,D'H⊥AD,所以GH=CD=40cm,∠AHD'=90°,由旋转的性质，得AD'=AD=60cm,∠D'AD=70°,所以D'H=AD'·sin∠D'AD≈60×0.94=56.4(cm),所以D'G=GH+D'H=96.4cm.故点D'到BC的距离约为96.4cm.
5. 墙壁及淋浴花洒截面如图所示. 已知花洒底座 $A$ 与地面的距离 $AB$ 为 $170$ cm，花洒 $AC$ 的长为 $30$ cm，与墙壁的夹角 $\angle CAD = 43^{\circ}$. 求花洒顶端 $C$ 到地面的距离 $CE$. (结果精确到 1 cm，参考数据：$\sin 43^{\circ}\approx 0.68$，$\cos 43^{\circ}\approx 0.73$，$\tan 43^{\circ}\approx 0.93$)
答案：过点C作CF⊥AD于点F,则∠AFC=90°.因为∠ABE=∠CEB=90°,所以四边形BECF是矩形,所以CE=BF.因为AC=30cm,∠CAD=43°,所以AF=AC·cos∠CAD≈30×0.73=21.9(cm).因为AB=170cm,所以CE=BF=AB+AF=191.9cm≈192cm.故花洒顶端C到地面的距离CE约为192cm.
解析：
解：过点$C$作$CF ⊥ AD$于点$F$，则$\angle AFC = 90°$。
因为$\angle ABE = \angle CEB = 90°$，所以四边形$BECF$是矩形，因此$CE = BF$。
在$\mathrm{Rt}\triangle AFC$中，$AC = 30\,\mathrm{cm}$，$\angle CAD = 43°$，
所以$AF = AC · \cos \angle CAD \approx 30 × 0.73 = 21.9\,\mathrm{cm}$。
因为$AB = 170\,\mathrm{cm}$，所以$CE = BF = AB + AF = 170 + 21.9 = 191.9\,\mathrm{cm} \approx 192\,\mathrm{cm}$。
答：花洒顶端$C$到地面的距离$CE$约为$192\,\mathrm{cm}$。
6. 如图，秋千链子的长度为 3 m，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为 $30^{\circ}$，则它摆动到的最高位置与最低位置的高度差为(
D
)
A.$\sqrt{3}$ m
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ m
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ m
D.$(3 - \frac{3\sqrt{3}}{2})$ m
答案：D
解析：
设秋千链子长度为 $ l = 3 \, \mathrm{m} $，最低位置为点 $ C $（链子竖直时末端位置），最高位置为点 $ A $ 或 $ B $。
在 $ \triangle OAC $ 中，$ OA = OC = l = 3 \, \mathrm{m} $，摆动角度 $ \angle AOC = 30° $。过 $ A $ 作 $ OC $ 的垂线，垂足为 $ D $，则 $ OD = OA · \cos 30° $。
$ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $，故 $ OD = 3 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \mathrm{m} $。
高度差 $ CD = OC - OD = 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \mathrm{m} $。
D
