1. (2023·广东深圳)如果爬坡时坡面与水平面夹角为α，那么每爬1m耗能$(1.025 - \cos\alpha )$J. 若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他大约耗能(参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{2} \approx 1.414$)(
B
)
A.58J
B.159J
C.1025J
D.1732J
答案：1.B
解析：
每爬1m耗能为$(1.025 - \cos\alpha )\mathrm{J}$，爬了1000m，坡角$\alpha = 30°$。
因为$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$，
所以每爬1m耗能约为$1.025 - 0.866 = 0.159\mathrm{J}$，
则爬1000m耗能约为$0.159 × 1000 = 159\mathrm{J}$。
B
2. (2025·江苏镇江模拟)如图，斜面AC的坡度为1:2，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端点B与点A之间有一条彩带相连. 若$AC = 3\sqrt{5}$m，$AB = 10$m，则旗杆BC的高度为(
A
)
A.5m
B.6m
C.8m
D.$(3 + \sqrt{5})$m
]
答案：2.A 解析:由题意,得$\angle D=90°,\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$.设$CD=x\mathrm{ m}$，则$AD=2x\mathrm{ m}$，所以$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{5}x\mathrm{ m}$.又$AC=3\sqrt{5}\mathrm{ m}$，所以$\sqrt{5}x=3\sqrt{5}$，解得$x=3$，所以$CD=3\mathrm{ m}$，$AD=6\mathrm{ m}$.因为$AB=10\mathrm{ m}$，所以$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=8\mathrm{ m}$，所以$BC=BD - CD=5\mathrm{ m}$.故旗杆$BC$的高度为$5\mathrm{ m}$.
3. 已知某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度为$1:\sqrt{3}$，坝外斜坡的坡度为1:1，则两个坡角的度数和为
75°
.
答案：3.75°
解析：
设坝内斜坡的坡角为$\alpha$，坝外斜坡的坡角为$\beta$。
坝内斜坡坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\alpha = 30°$。
坝外斜坡坡度为$1:1$，即$\tan\beta = 1$，所以$\beta = 45°$。
两个坡角的度数和为$\alpha+\beta=30° + 45°=75°$。
75°
4. (教材P113问题1变式)(2025·黑龙江绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度$i = 1:\sqrt{2}$，堤坝高$BC = 15$m，则迎水坡面AB的长是
15$\sqrt{3}$
m.
答案：4.15$\sqrt{3}$
解析：
解：
∵斜面坡度$i = 1:\sqrt{2}$，$BC = 15$m，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$\frac{15}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
解得$AC = 15\sqrt{2}$m。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(15\sqrt{2})^{2}+15^{2}}=\sqrt{450 + 225}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}$m。
$15\sqrt{3}$
5. 如图，某市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，$DC // AB$. 若BC的长为6m，坡角β为45°，坡角α为30°，则AD的长为
6$\sqrt{2}$
m.
答案：5.6$\sqrt{2}$ 解析:如图，分别过点$C,D$作$CE⊥AB$于点$E$，$DF⊥AB$于点$F$，则$\angle CEB=\angle CEF=\angle DFA=\angle DFE=90°$.因为$DC// AB$，所以$\angle DCE=180° - \angle CEF=90°$，所以四边形$CDFE$是矩形，所以$DF=CE$.因为$BC=6\mathrm{ m}$，$\angle CBE=45°$，所以$DF=CE=BC·\sin\angle CBE=3\sqrt{2}\mathrm{ m}$.因为$\angle DAF=30°$，所以$AD=2DF=6\sqrt{2}\mathrm{ m}$.
6. 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高$DH = 12$m，斜坡CD的坡度$i = 1:1$. 此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(点P，D，H在同一条直线上)，在点C处测得$∠DCP = 26°$.
(1)求斜坡CD的坡角α；
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18m，请问：此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：$\sin 26° \approx 0.44$，$\tan 26° \approx 0.49$，$\sin 71° \approx 0.95$，$\tan 71° \approx 2.90$)
]
答案：6.(1)因为斜坡$CD$的坡度$i = 1:1$，所以$\tan\alpha=\frac{DH}{CH}=1$，所以$\alpha = 45°$.故斜坡$CD$的坡角$\alpha$为$45°$.
(2)因为$\frac{DH}{CH}=1$，所以$CH = DH = 12\mathrm{ m}$.因为$\angle DCH = 45°$，$\angle DCP = 26°$，所以$\angle PCH=\angle DCH+\angle DCP = 71°$.因为$\angle PHC = 90°$，所以$PH = CH·\tan\angle PCH\approx12×2.90 = 34.8\mathrm{ m}$，所以$PD = PH - DH = 22.8\mathrm{ m}$.因为$22.8＞18$，所以此次改造符合电力部门的安全要求.
7. (新素养 应用意识)某商场准备提高原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°. 若原楼梯长为5m，则调整后的楼梯会加长(楼梯高度不变，参考数据：$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$，$\cos 37° \approx \frac{4}{5}$，$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$)(
D
)
A.6m
B.3m
C.2m
D.1m
答案：7.D
解析：
设楼梯高度为$h$。
原楼梯坡角为$37°$，长$5m$，由$\sin 37°=\frac{h}{5}$，$\sin 37°\approx\frac{3}{5}$，得$h=5×\frac{3}{5}=3m$。
调整后坡角为$30°$，设调整后楼梯长为$l$，由$\sin 30°=\frac{h}{l}$，$\sin 30°=\frac{1}{2}$，得$l=\frac{h}{\frac{1}{2}}=2h=6m$。
加长长度为$6 - 5=1m$。
D
