10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ},D$为$BC$的中点,点$E$在$AB$上,$AD,CE$交于点$F$.若$AE=EF=4,CF=9$,则$\cos\angle ACB$的值为(
D
)
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{4}{5}$
答案：10. D 解析：如图，延长$FD$到点$M$，使$DM = DF$，连接$BM$。因为$D$为$BC$的中点，所以$BD = CD$。在$\triangle BDM$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDM = \angle CDF\\DM = DF\end{cases}$，所以$\triangle BDM\cong\triangle CDF$，所以$BM = CF = 9$，$\angle M = \angle CFD$。因为$\angle AFE = \angle CFD$，所以$\angle M = \angle AFE$。因为$AE = EF = 4$，所以$\angle FAE = \angle AFE$，所以$\angle FAE = \angle M$，所以$AB = BM = 9$，所以$BE = AB - AE = 5$。因为$\angle ABC = 90°$，$CE = CF + EF = 13$，所以$BC=\sqrt{CE^2 - BE^2}=12$，所以$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=15$，所以$\cos\angle ACB=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$。
11. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle B=90^{\circ},AB=2,CD=8,AC⊥ CD$.若$\sin\angle ACB=\frac{1}{3}$,则$\cos\angle ADC$的值为
$\frac{4}{5}$
.
答案：11. $\frac{4}{5}$
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B=90^{\circ}$，
$\sin\angle ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}$，$AB=2$，
$\therefore \frac{2}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=6$。
$\because AC⊥ CD$，$\therefore \angle ACD=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=8$，$AC=6$，
$\therefore AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$，
$\cos\angle ADC=\frac{CD}{AD}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$
12. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ},AB=BC$,点$A$的坐标为$(1,0)$,点$B$在$x$轴上且位于点$A$右侧,点$C$在第一象限.将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$75^{\circ}$,点$C$的对应点$E$恰好落在$y$轴的正半轴上,则点$E$的坐标为
$(0,\sqrt{3})$
.
答案：12. $(0,\sqrt{3})$
解析：
解：设 $ AB = BC = a $，
∵ 点 $ A(1,0) $，点 $ B $ 在 $ x $ 轴上且在 $ A $ 右侧，
∴ 点 $ B(1+a,0) $，点 $ C(1+a,a) $。
由旋转性质，$ AE = AC $，旋转角 $ \angle CAE = 75° $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a $，
$ \angle BAC = 45° $，故 $ \angle OAE = 180° - 75° - 45° = 60° $。
设点 $ E(0,y) $（$ y ＞ 0 $），则 $ AE = \sqrt{(1-0)^2 + (0 - y)^2} = \sqrt{1 + y^2} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle AOE $ 中，$ \cos \angle OAE = \frac{OA}{AE} $，即 $ \cos 60° = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} $，
$ \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} $，解得 $ y = \sqrt{3} $。
∴ 点 $ E $ 的坐标为 $ (0,\sqrt{3}) $。
$(0,\sqrt{3})$
13. 新素养 应
用意识 某型号飞机的机翼形状如图所示,则$AB$的长为
$\frac{25\sqrt{3}-24}{15}$
m.
答案：13. $\frac{25\sqrt{3}-24}{15}$ 解析：如图，由题意，得$\angle E = \angle BFC = 90°$，$\angle ADE = 45°$，$\angle BCF = 30°$，$DE = CF = BH = 5$m，$EF = CD = 3.4$m，所以$AE = DE·\tan\angle ADE = 5$m，$BF = CF·\tan\angle BCF=\frac{5\sqrt{3}}{3}$m，所以$AB = EF + BF - AE=\frac{25\sqrt{3}-24}{15}$m。
14. (2024·浙江)如图,$AD,AE$分别是$\triangle ABC$的高和中线,且$AB=10,AD=6,\tan\angle ACB=1$.
(1) 求$BC$的长;
(2) 求$\sin\angle DAE$的值.
答案：14. (1)因为$AD$是$\triangle ABC$的高，所以$AD⊥ BC$，所以$\angle ADB = \angle ADC = 90°$。因为$AB = 10$，$AD = 6$，所以$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=8$。因为$\tan\angle ACB = 1$，所以$CD=\frac{AD}{\tan\angle ACB}=6$，所以$BC = BD + CD = 14$。
(2)因为$AE$是$\triangle ABC$的中线，$BC = 14$，所以$BE=\frac{1}{2}BC = 7$；因为$BD = 8$，所以$DE = BD - BE = 1$。因为$\angle ADE = 90°$，所以$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{37}$，所以$\sin\angle DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{\sqrt{37}}{37}$。
15. 亮点原创·如图,在$\triangle ABC$中,$AB=8,\angle ACB=60^{\circ},\angle B=45^{\circ}$,点$E$在高$AD$上,且$AE=\frac{8\sqrt{2}}{3}$,连接$CE$,则$\tan\angle ACE$的值为(
C
)
A.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：15. C 解析：因为$AD$是$\triangle ABC$的高，所以$AD⊥ BC$，所以$\angle ADB = \angle ADC = 90°$。因为$AB = 8$，$\angle B = 45°$，所以$AD = AB·\sin B = 4\sqrt{2}$。因为$\angle ACB = 60°$，所以$CD=\frac{AD}{\tan\angle ACB}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。因为$AE=\frac{8\sqrt{2}}{3}$，所以$DE = AD - AE=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，所以$\tan\angle DCE=\frac{DE}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\angle DCE = 30°$，所以$\angle ACE = \angle ACB - \angle DCE = 30°$，所以$\tan\angle ACE=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
16. 新素养 几
何直观 一副直角三角尺如图放置,点$C$在$FD$的延长线上,$AB// CF,\angle DFE=\angle ACB=90^{\circ},\angle E=45^{\circ},\angle A=60^{\circ},AC=10$,则$CD$的长为
$15 - 5\sqrt{3}$
.
答案：16. $15 - 5\sqrt{3}$ 解析：过点$B$作$BM⊥ FD$于点$M$，则$\angle BMC = 90°$。因为$\angle ACB = 90°$，$\angle A = 60°$，$AC = 10$，所以$\angle ABC = 90° - \angle A = 30°$，$BC = AC·\tan A = 10\sqrt{3}$。因为$AB// CF$，所以$\angle BCM = \angle ABC = 30°$，所以$BM = BC·\sin\angle BCM = 5\sqrt{3}$，$CM = BC·\cos\angle BCM = 15$。因为$\angle DFE = 90°$，$\angle E = 45°$，所以$\angle EDF = 90° - \angle E = 45°$，所以$MD=\frac{BM}{\tan\angle EDF}=5\sqrt{3}$，所以$CD = CM - MD = 15 - 5\sqrt{3}$。
解析：
解：过点$B$作$BM ⊥ FD$于点$M$，则$\angle BMC = 90°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$\angle A = 60°$，$AC = 10$，
$\angle ABC = 90° - \angle A = 30°$，
$BC = AC · \tan A = 10 · \tan 60° = 10\sqrt{3}$。
因为$AB // CF$，所以$\angle BCM = \angle ABC = 30°$。
在$\triangle BMC$中，
$BM = BC · \sin \angle BCM = 10\sqrt{3} · \sin 30° = 10\sqrt{3} · \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}$，
$CM = BC · \cos \angle BCM = 10\sqrt{3} · \cos 30° = 10\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 15$。
在$\triangle DFE$中，$\angle DFE = 90°$，$\angle E = 45°$，
$\angle EDF = 90° - \angle E = 45°$。
在$\triangle BMD$中，$\tan \angle EDF = \frac{BM}{MD}$，
$MD = \frac{BM}{\tan \angle EDF} = \frac{5\sqrt{3}}{\tan 45°} = 5\sqrt{3}$。
所以$CD = CM - MD = 15 - 5\sqrt{3}$。
$15 - 5\sqrt{3}$
17. (2025·江苏无锡模拟)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ},D$是边$AB$的中点,$BE⊥ CD$,垂足为$E,AC=15,\cos A=\frac{3}{5}$.
(1) 求$\triangle BCD$的周长;
(2) 求$\sin\angle DBE$的值.
答案：17. (1)因为$\angle ACB = 90°$，所以$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。因为$AC = 15$，所以$AB = 25$，所以$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=20$。因为$D$是$AB$的中点，所以$CD = BD=\frac{1}{2}AB=\frac{25}{2}$，所以$C_{\triangle BCD}=BC + BD + CD = 45$。故$\triangle BCD$的周长为$45$。
(2)因为$BD = CD=\frac{25}{2}$，所以$\angle BCD = \angle CBD$。因为$\angle ACB = 90°$，$AB = 25$，$BC = 20$，所以$\cos\angle CBD=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，所以$\cos\angle BCD=\cos\angle CBD=\frac{4}{5}$。因为$BE⊥ CD$，所以$\angle E = 90°$，所以$\cos\angle BCD=\frac{CE}{BC}=\frac{4}{5}$，所以$CE = 16$，所以$DE = CE - CD=\frac{7}{2}$，所以$\sin\angle DBE=\frac{DE}{BD}=\frac{7}{25}$。
