1. 若锐角 $ \alpha $ 满足 $ \cos \alpha ＜ \frac{\sqrt{2}}{2} $ 且 $ \tan \alpha ＜ \sqrt{3} $，则 $ \alpha $ 的取值范围是(
C
)
A.$ 0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 30^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} ＜ \alpha ＜ 45^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} ＜ \alpha ＜ 60^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} ＜ \alpha ＜ 90^{\circ} $
答案：1.C
解析：
解：
∵ $\alpha$ 为锐角，$\cos\alpha ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$，且 $\cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，余弦函数在 $0° ＜ \alpha ＜ 90°$ 随角度增大而减小，
∴ $\alpha ＞ 45°$；
∵ $\tan\alpha ＜ \sqrt{3}$，且 $\tan60° = \sqrt{3}$，正切函数在 $0° ＜ \alpha ＜ 90°$ 随角度增大而增大，
∴ $\alpha ＜ 60°$；
综上，$45° ＜ \alpha ＜ 60°$，答案选 C。
2. 已知一个等腰三角形的三边长之比为 $ 1 : 1 : \sqrt{3} $，则该三角形的顶角的度数为(
B
)
A.$ 90^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 135^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $
答案：2.B
解析：
设等腰三角形的三边长分别为$a$，$a$，$a\sqrt{3}$（$a＞0$）。
根据余弦定理，对于顶角$\theta$（所对边为$a\sqrt{3}$）：
$\cos\theta=\frac{a^2 + a^2 - (a\sqrt{3})^2}{2 · a · a}$
$=\frac{2a^2 - 3a^2}{2a^2}$
$=\frac{-a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}$
因为$0^{\circ}＜\theta＜180^{\circ}$，所以$\theta = 120^{\circ}$。
B
3. 已知 $ \angle A $ 为锐角，且 $ \tan^{2}A - 2\sqrt{3} \tan A + 3 = 0 $，则 $ \angle A = $
60°
。
答案：3.60°
解析：
解：设$\tan A = x$，则方程可化为$x^{2}-2\sqrt{3}x + 3 = 0$。
$\Delta=( - 2\sqrt{3})^{2}-4×1×3=12 - 12 = 0$
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2}=\sqrt{3}$
即$\tan A=\sqrt{3}$
因为$\angle A$为锐角，所以$\angle A = 60^{\circ}$
60°
4. 若一个直角三角形的两条边长分别为 $ 3 $ 和 $ 4 $，则该直角三角形较小锐角的度数约为
37°或41°
。(结果精确到 $ 1^{\circ} $)
答案：4.37°或41° 解析:设该直角三角形较小锐角的度数为x.分类讨论如下:①当3和4为两条直角边长时,tanx=$\frac{3}{4}$,所以x≈37°;②当4为斜边长时，cosx=$\frac{3}{4}$,所以x≈41°.综上所述，该直角三角形较小锐角的度数约为37°或41°.
易错警示
注意分类讨论，避免漏解.
5. (教材 P108 习题 1 变式)根据下列条件，用计算器求出 $ \angle A $ 的度数：(结果精确到 $ 0.01^{\circ} $)
(1) $ \sin A = 0.6031 $；
(2) $ \cos A = 0.3215 $；
(3) $ \tan A = 0.2136 $。
答案：5.(1)∠A≈37.09°.
(2)∠A≈71.25°.
(3)∠A≈12.06°.
6. 满足 $ \cos [ \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle C) ] = \frac{\sqrt{2}}{2} $ 的 $ \triangle ABC $ 一定是(
C
)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
答案：6.C
解析：
解：由题意得，$\cos[\frac{1}{2}(180° - \angle C)] = \frac{\sqrt{2}}{2}$
因为$\cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\frac{1}{2}(180° - \angle C) = 45°$
解得$180° - \angle C = 90°$，$\angle C = 90°$
所以$\triangle ABC$是直角三角形。
C
7. 在 $ \triangle ABC $ 中，若 $ AB = AC $，中线 $ AD = \sqrt{3} $， $ \cos B = \frac{\sqrt{3}}{2} $，则 $ \triangle ABC $ 的周长为(
B
)
A.$ 4 + 6\sqrt{3} $
B.$ 6 + 4\sqrt{3} $
C.$ 6 + 6\sqrt{3} $
D.以上都不对
函数值求锐角
答案：7.B 解析:因为AB=AC,AD是△ABC的中线，所以BD=$\frac{1}{2}$BC,AD⊥BC,所以∠ADB=90°.因为cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以∠B=30°.因为AD=$\sqrt{3}$,所以AC=AB=2AD=2$\sqrt{3}$,所以BD=$\sqrt{AB²−AD²}$=3,所以BC=2BD=6,所以C△ABC=AB+AC+BC=6+4$\sqrt{3}$.故△ABC的周长为6+4$\sqrt{3}$.
8. 新素养
几何直观 如图，已知点 $ A(0,1) $， $ B(0, -1) $，以点 $ A $ 为圆心， $ AB $ 为半径作圆，交 $ x $ 轴的正半轴于点 $ C $，则 $ \angle BAC = $
60°
。
答案：8.60°
解析：
解：
∵点$A(0,1)$，$B(0,-1)$，
∴$AB = |1 - (-1)| = 2$，$OA = 1$。
∵以点$A$为圆心，$AB$为半径作圆，交$x$轴正半轴于点$C$，
∴$AC = AB = 2$。
在$Rt\triangle AOC$中，$\cos\angle BAC=\frac{OA}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴$\angle BAC = 60°$。
$60°$
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ OA $ 经过点 $ (2,1) $，则 $ \alpha \approx $
26.6°
。(结果精确到 $ 0.1^{\circ} $)
答案：9.26.6°
解析：
解：设直线 $OA$ 的解析式为 $y = kx$，
因为直线 $OA$ 经过点 $(2,1)$，
所以 $1 = 2k$，解得 $k = \frac{1}{2}$。
在 $Rt\triangle$ 中，$\tan\alpha = k = \frac{1}{2}$，
使用计算器求得 $\alpha \approx 26.6°$。
26.6°
10. 已知在 $ \triangle ABC $ 中， $ AD $ 是边 $ BC $ 上的高， $ AD = 2 $， $ AC = 2\sqrt{2} $， $ AB = 4 $，求 $ \angle BAC $ 的度数。
答案：10.因为AD是△ABC的高,所以∠ADB=∠ADC=90°.因为AD=2,AC=2$\sqrt{2}$,AB=4,所以cos∠BAD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$,cos∠CAD=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以∠BAD=60°,∠CAD=45°.分类讨论如下:①如图①,当AD在△ABC内部时,∠BAC=∠BAD+∠CAD=105°;②如图②,当AD在△ABC外部时,∠BAC=∠BAD−∠CAD=15°.综上所述，∠BAC的度数为105°或15°.
11. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中， $ \angle ACB = 90^{\circ} $， $ AB = 5 $， $ BC = 4 $，点 $ P $ 在边 $ AB $ 上。若 $ \triangle APC $ 是以 $ AC $ 为腰的等腰三角形，则 $ \angle BCP $ 的度数约为
26°34'或16°16'
。(结果精确到 $ 1' $)
答案：11.26°34'或16°16' 解析:因为∠ACB=90°,AB=5,BC=4,所以AC⊥BC,AC=$\sqrt{AB²−BC²}$=3.分类讨论如下:①如图①,当AP=AC=3时，过点P作PD⊥BC于点D,则PB=AB−AP=2,PD//AC,所以△PBD∽△ABC,所以$\frac{BD}{BC}$=$\frac{PD}{AC}$=$\frac{PB}{AB}$,即$\frac{BD}{4}$=$\frac{PD}{3}$=$\frac{2}{5}$,所以BD=1.6,PD=1.2,所以CD=BC−BD=2.4,所以tan∠BCP=$\frac{PD}{CD}$=$\frac{1}{2}$,所以∠BCP≈26°34';②如图②,当CP=AC=3时,过点C作CE⊥AB 于点E,过点P作PF⊥BC于点F,则AE=PE=$\frac{1}{2}$AP,PF//AC,∠AEC=∠ACB=90°.又∠A=∠A,所以△ACE∽△ABC,所以$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{3}{5}$=$\frac{AE}{3}$,所以AE=1.8,所以AP=2AE=3.6,所以PB=AB−AP=1.4.因为PF//AC,所以△PBF∽△ABC,所以$\frac{BF}{BC}$=$\frac{PF}{AC}$=$\frac{PB}{AB}$,即$\frac{BF}{4}$=$\frac{PF}{3}$=$\frac{7}{25}$,所以BF=$\frac{28}{25}$,PF=$\frac{21}{25}$,所以CF=BC−BF=$\frac{72}{25}$,所以tan∠BCP=$\frac{PF}{CF}$=$\frac{7}{24}$,所以∠BCP≈16°16'.综上所述，∠BCP的度数约为26°34′或16°16′.
12. 新素养
推理能力 如图，已知 $ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $， $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径， $ BD ⊥ AB $，交 $ AC $ 的延长线于点 $ D $。
(1)若 $ E $ 是 $ BD $ 的中点，连接 $ CE $，求证： $ CE $ 是 $ \odot O $ 的切线；
(2)若 $ AC = 3DC $，求 $ \angle A $ 的度数。
答案：12.(1)如图，连接OC,OE.因为BD⊥AB,所以∠OBE=90°.因为OA=OC,所以∠A=∠1.因为OA=OB,E是BD的中点，所以OE是△ABD的中位线,所以OE//AD,所以∠1=∠3,∠A=∠2,所以∠2=∠3.在△COE和△BOE中，$\begin{cases}OC = OB\\\angle3 = \angle2\\OE = OE\end{cases}$,所以△COE≌△BOE,所以∠OCE=∠OBE=90°,所以OC⊥CE.因为OC 是⊙O的半径，所以CE是⊙O的切线.
(2)因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°,所以∠A+∠ABC=90°,∠BCD=180°−∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BCD.因为∠ABD=90°,所以∠DBC+∠ABC=90°,所以∠A=∠DBC,所以△ABC∽△BDC,所以$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{DC}$,所以BC²=AC·DC.因为AC=3DC,所以BC²=$\frac{1}{3}$AC²,所以$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以∠A=30°
