1. (2025·云南)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=13,BC=5,则sinA的值为(
D
)
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{13}$
D.$\frac{5}{13}$
答案：1.D
解析：
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，
sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{5}{13}$.
答案：D
2. 亮点原创·如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,则$\frac{AB - BC}{AD}$等于(
B
)
A.sinA
B.cosA
C.tanA
D.1
答案：2.B
解析：
证明：过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$\angle C = 90°$，$DE ⊥ AB$，所以$DE = DC$，$BE = BC$。
在$\triangle ADE$中，$\angle AED = 90°$，$\cos A=\frac{AE}{AD}$，即$AE = AD · \cos A$。
又因为$AB - BC = AB - BE = AE$，所以$AB - BC = AD · \cos A$，故$\frac{AB - BC}{AD}=\cos A$。
答案：B
3. 新素养
几何直观(2025·江苏淮安模拟)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,网格线的交点称为格点.若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值为(
C
)
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案：3.C 解析：如图，取格点D，连接BD，CD，则$AD=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，所以$AD^{2}+BD^{2}=25$.因为$AB^{2}=4^{2}+3^{2}=25$，所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，所以$\triangle ABD$是直角三角形，且$\angle ADB=90^{\circ}$，所以$\cos\angle BAC=\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
4. 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sinA=
$\frac{12}{13}$
.
答案：4.$\frac{12}{13}$
解析：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$，
则sinA=$\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$。
$\frac{12}{13}$
5. 如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E,连接BE.若BE=9,BC=12,则cosC=
$\frac{2}{3}$
.
答案：5.$\frac{2}{3}$
解析：
解：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC=BE=9，CD=$\frac{1}{2}$BC=6，∠EDC=90°，
在Rt△EDC中，cosC=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$.
故答案为：$\frac{2}{3}$.
6. 如图,在以AB为直径的半圆O中,弦AC,BD相交于点E.若CE=2,BE=4,则cos∠BEC的值为
$\frac{1}{2}$
.
答案：6.$\frac{1}{2}$ 解析：连接BC.因为AB是半圆O的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$.因为$CE = 2$，$BE = 4$，所以$\cos\angle BEC=\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$.
解析：
证明：连接BC。
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°。
在Rt△BCE中，CE=2，BE=4，
∴cos∠BEC=$\frac{CE}{BE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
7. (教材P103习题1变式)分别求出如图所示的直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
答案：7.题图①中，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 13$，$AC = 12$，所以$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = 5$，所以$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}$，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{5}$.题图②中，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 2$，$BC = 3$，所以$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{13}$，所以$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{2}$，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$.
8. (2023·湖南益阳)如图,在平面直角坐标系中,有A(0,1),B(4,1),C(5,6)三点,连接AB,AC,则sin∠BAC的值为(
C
)
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{13}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：8.C
解析：
解：已知A(0,1)，B(4,1)，C(5,6)。
向量$\overrightarrow{AB}=(4-0,1-1)=(4,0)$，向量$\overrightarrow{AC}=(5-0,6-1)=(5,5)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+0^2}=4$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=4×5+0×5=20$。
$\cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{20}{4×5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$\angle BAC\in(0,\pi)$，所以$\angle BAC=45°$，则$\sin\angle BAC=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：C
