1. 在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，若$AB = 7$，$BC = 6$，$AC = 5$，$ED = \dfrac{7}{2}$，$EF = \dfrac{5}{2}$，$DF = 3$，则下列结论正确的是(
B
)
A.$\angle A = \angle D$
B.$\angle A = \angle E$
C.$\angle A = \angle F$
D.$\angle C = \angle D$
答案：1.B
解析：
在$\triangle ABC$中，$AB = 7$，$BC = 6$，$AC = 5$；在$\triangle DEF$中，$ED = \dfrac{7}{2}$，$EF = \dfrac{5}{2}$，$DF = 3$。
计算对应边的比值：
$\dfrac{AB}{ED} = \dfrac{7}{\dfrac{7}{2}} = 2$，
$\dfrac{AC}{EF} = \dfrac{5}{\dfrac{5}{2}} = 2$，
$\dfrac{BC}{DF} = \dfrac{6}{3} = 2$。
所以$\dfrac{AB}{ED} = \dfrac{AC}{EF} = \dfrac{BC}{DF} = 2$，故$\triangle ABC ∼ \triangle EDF$（三边成比例的两个三角形相似）。
相似三角形对应角相等，所以$\angle A = \angle E$。
B
2. 如图，$\triangle ABC$和$\triangle DEF$是正方形网格中的两个格点三角形，则$\angle BAC$的度数为(
D
)
A.$105^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
答案：2.D 解析：设每个小正方形的边长为1，则$AC=\sqrt{10}$，$AB=\sqrt{5}$，$BC=5$，$EF=2$，$ED=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{10}$，所以$\frac{AC}{EF}=\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，所以$\triangle ABC∼\triangle EDF$，所以$\angle BAC=\angle DEF$。又$\angle DEF=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$，所以$\angle BAC=135^{\circ}$。
3. 已知$AB = 4$，$BC = 5$，$AC = 8$，$DE = \dfrac{5}{3}$，$DF = \dfrac{10}{3}$，则当$EF =$
$\frac{25}{12}$
时，$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$.
答案：3.$\frac{25}{12}$
4. 新素养 几
何直观(教材 P61 练习 3 变式)如图，已知$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AC}{AE}$，$\angle BAD = 20^{\circ}$，$\angle DAE = 60^{\circ}$，则$\angle DAC$的度数为
$40^{\circ}$
.
答案：4.$40^{\circ}$解析：因为$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，所以$\triangle ABC∼\triangle ADE$，所以$\angle BAC=\angle DAE=60^{\circ}$。因为$\angle BAD=20^{\circ}$，所以$\angle DAC=\angle BAC - \angle BAD = 40^{\circ}$。
5. 新素养
推理能力 如图，在四边形$ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$F$，点$E$在$BD$上，且$\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{BC}{ED} = \dfrac{AC}{AD}$.
(1)试问：$\angle BAE$与$\angle CAD$相等吗？为什么？
(2)试判断：$\triangle ABE$与$\triangle ACD$是否相似？并说明理由.
]
答案：5.(1)$\angle BAE$与$\angle CAD$相等。理由如下：因为$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，所以$\triangle ABC∼\triangle AED$，所以$\angle BAC=\angle EAD$，所以$\angle BAC - \angle EAF=\angle EAD - \angle EAF$，即$\angle BAE=\angle CAD$。
(2)$\triangle ABE$与$\triangle ACD$相似。理由如下：因为$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。又$\angle BAE=\angle CAD$，所以$\triangle ABE∼\triangle ACD$。
6. (2025·江苏南京模拟)若$\triangle ABC$的每条边长增加各自的$10\%$得$\triangle A'B'C'$，则$\angle B'$的度数与其对应角$\angle B$的度数相比，(
D
)
A.增加了$10\%$
B.减少了$10\%$
C.增加了$(1 + 10\%)$
D.没有改变
答案：6.D
解析：
因为三角形的每条边长增加各自的10%，所以新三角形与原三角形的对应边之比为$(1 + 10\%) : 1 = 1.1:1$，即对应边成比例。根据相似三角形的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，所以$\triangle A'B'C' ∼ \triangle ABC$。又因为相似三角形的对应角相等，所以$\angle B' = \angle B$，即$\angle B'$的度数与其对应角$\angle B$的度数相比没有改变。
D
7. 新素养
应用意识 在如图所示的象棋盘(每个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似的“马”的落点位置是(
B
)
A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
答案：7.B
8. 一个三角形木架三条边的长分别是$75\mathrm{cm}$，$100\mathrm{cm}$，$120\mathrm{cm}$，要做一个与它相似的三角形木架，现有长为$60\mathrm{cm}$和$120\mathrm{cm}$的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另外两边(允许有余料)，则不同的截法有(
B
)
A.$1$种
B.$2$种
C.$3$种
D.$4$种
答案：8.B 解析：①当以$120\mathrm{cm}$长的木条为一边时，另两边长的和应大于$120\mathrm{cm}$，不合题意；②当以$60\mathrm{cm}$长的木条为一边时，设另外两边的长分别为$x\mathrm{cm}$和$y\mathrm{cm}(x＜y)$。由题意，得$\frac{60}{75}=\frac{x}{100}=\frac{y}{120}$或$\frac{60}{100}=\frac{x}{75}=\frac{y}{120}$或$\frac{60}{120}=\frac{x}{75}=\frac{y}{100}$，解得$x = 80$，$y = 96$或$x = 45$，$y = 72$或$x = 37.5$，$y = 50$。因为$80 + 96 = 176＞120$，$45 + 72 = 117＜120$，$37.5 + 50 = 87.5＜120$，所以满足题意的不同的截法有2种。
易错警示
注意分类讨论，避免漏解。
9. 在$\triangle ABC$中，已知$AB = 4$，$BC = 5$，$CA = 6$.
(1)如果$DE = 10$，那么当$EF =$
$12.5$
，$FD =$
$15$
时，$\triangle DEF \backsim \triangle ABC$；
(2)如果$DE = 10$，那么当$EF =$
$12$
，$FD =$
$8$
时，$\triangle FDE \backsim \triangle ABC$.
答案：9.(1)$12.5$ $15$ (2)$12$ $8$
