1. 已知 $ P $ 为线段 $ AB $ 的黄金分割点，且 $ AP ＞ BP $，则下列等式成立的是(
C
)
A.$ AP^{2}+BP^{2}=AB^{2} $
B.$ BP^{2}=AP· AB $
C.$ AP^{2}=AB· BP $
D.$ AB^{2}=AP· BP $
答案：1. C
2. (2023·四川达州改编)如图，乐器上的一根弦 $ AB = 80\ \mathrm{cm} $，两个端点 $ A $，$ B $ 固定在乐器板面上，支撑点 $ C $ 是靠近点 $ B $ 的黄金分割点，支撑点 $ D $ 是靠近点 $ A $ 的黄金分割点，则支撑点 $ C $，$ D $ 之间的距离为(
B
)
A.$ 40(3 - \sqrt{5})\ \mathrm{cm} $
B.$ 80(\sqrt{5} - 2)\ \mathrm{cm} $
C.$ 40(\sqrt{5} - 1)\ \mathrm{cm} $
D.$ 40(\sqrt{5} + 1)\ \mathrm{cm} $
答案：2. B
解析：
解：
∵点$C$是靠近点$B$的黄金分割点，$AB = 80\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}×80 = 40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=AB - AC=80 - 40(\sqrt{5}-1)=80 - 40\sqrt{5}+40=(120 - 40\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$。
∵点$D$是靠近点$A$的黄金分割点，
$\therefore BD=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}AB=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$。
$\therefore CD=BD - BC=40(\sqrt{5}-1)-(120 - 40\sqrt{5})$
$=40\sqrt{5}-40 - 120 + 40\sqrt{5}$
$=80\sqrt{5}-160$
$=80(\sqrt{5}-2)\ \mathrm{cm}$。
答案：B
3. 如图，五角星是我们常见的图形，其中 $ C $，$ D $ 是线段 $ AB $ 的两个黄金分割点. 若 $ AB = 20\ \mathrm{cm} $，则 $ EC + CD = $_________$\mathrm{cm}$.
答案：$3. (10\sqrt{5}-10)$
4. 新趋势
情境素材 (教材 P46 练习 1 类题精讲)在 20 世纪 70 年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果. 如图，利用黄金分割法，所作 $ EF $ 将矩形窗框 $ ABCD $ 分为上下两部分，其中 $ E $ 为边 $ AB $ 的黄金分割点，即 $ BE^{2} = AE· AB $. 已知 $ AB = 2\ \mathrm{m} $，则线段 $ BE $ 的长为
($\sqrt{5}-1$)
$\mathrm{m}$.
答案：$4. (\sqrt{5}-1) $解析:设 BE=x m. 因为 AB=2 m,所以 AE=AB-BE=(2-x)m. 因为$ BE^{2}=AE· AB,$所以$ x^{2}=2(2-x),$解得$ x_{1}=-1-\sqrt{5}（$不合题意，舍去$）,x_{2}=-1+\sqrt{5}. $故线段 BE 的长为$(\sqrt{5}-1)m.$
解析：
解：设$BE = x\ \mathrm{m}$。
因为$AB = 2\ \mathrm{m}$，所以$AE = AB - BE=(2 - x)\ \mathrm{m}$。
由题意得$BE^2=AE· AB$，即$x^2 = 2(2 - x)$。
整理得$x^2 + 2x - 4=0$，解得$x=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 16}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$。
因为$x＞0$，所以$x=-1+\sqrt{5}$。
故线段$BE$的长为$(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{m}$。
$\sqrt{5}-1$
5. (2025·江苏苏州模拟)如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ CD = 2 $，$ AD = 4 $，点 $ P $ 在边 $ BC $ 上，将 $ \triangle ABP $ 沿 $ AP $ 折叠，点 $ B $ 恰好落在对角线 $ AC $ 上的点 $ E $ 处，$ O $ 为 $ AC $ 上一点，$ \odot O $ 经过点 $ A $，$ P $.
(1) 求证：直线 $ BC $ 是 $ \odot O $ 的切线；
(2) 在边 $ BC $ 上截取 $ CF = CE $，则 $ F $ 是线段 $ BC $ 的黄金分割点吗？请说明理由.
答案：5. (1) 连接 OP. 因为 OA=OP,所以 ∠PAO=∠APO. 由折叠的性质,得 AE=AB,∠PAO=∠PAB,所以 ∠APO=∠PAB,所以 AB// OP,所以 ∠ABC=∠OPC. 因为四边形 ABCD 是矩形,所以 ∠ABC=90°,所以 ∠OPC=90°,所以 OP⊥BC.因为点 P 在⊙O 上,所以直线 BC 是⊙O 的切线.
(2) F 是线段 BC 的黄金分割点. 理由如下:因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AB=CD=2,BC=AD=4,∠D=90°,所以$ AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=2\sqrt{5}. $因为 AE=AB=2,所以$ CF=CE=AC-AE=2\sqrt{5}-2,$所以$ \frac{CF}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},$所以 F 是线段 BC 的黄金分割点.
6. 新素养
应用意识 (2024·四川德阳)宽与长的比是 $ \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}:1 $ 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计. 已知四边形 $ ABCD $ 是黄金矩形 ($ AB ＜ BC $)，$ P $ 是边 $ AD $ 上一点，则满足 $ PB⊥ PC $ 的点 $ P $ 的个数为(
D
)
A.$ 3 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ 0 $
答案：6. D
解析：
设黄金矩形$ABCD$中，$BC=a$，则$AB=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}a$。以$BC$为直径作圆，圆心为$O$，半径$r=\dfrac{a}{2}$。圆心$O$到$AD$的距离$d=AB=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}a\approx0.618a$。因为$d\approx0.618a\gt r=\dfrac{a}{2}=0.5a$，所以直线$AD$与圆$O$相离，满足$PB⊥ PC$的点$P$不存在。
D
7. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，已知 $ AB = AC = 3 $，$ BC = 4 $. 若 $ D $，$ E $ 是边 $ BC $ 的两个黄金分割点，则 $ \triangle ADE $ 的面积为(
A
)
A.$ 10 - 4\sqrt{5} $
B.$ 3\sqrt{5} - 5 $
C.$ \dfrac{5 - 2\sqrt{5}}{2} $
D.$ 20 - 8\sqrt{5} $
答案：7. A 解析:过点 A 作 AH⊥BC 于点 H,则 ∠AHB=90°. 因为 AB=AC=3,BC=4,所以$ BH=CH=\frac{1}{2}BC=2,$所以$ AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{5}. $因为 D,E 是边 BC 的两个黄金分割点,所以$ BE=CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC=2\sqrt{5}-2,$所以$ DE=BE+CD-BC=4\sqrt{5}-8,$所以$ S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}DE· AH=10-4\sqrt{5}. $故 △ADE 的面积为$ 10-4\sqrt{5}.$
