7. 为了节省材料，某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边，用总长为 80 m 的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则围成的矩形区域 $ ABCD $的最大面积为
300
$ \mathrm{m} ^ { 2 } $.
答案：7. 300 解析：因为三块矩形区域的面积相等，所以矩形$AEFD$的面积是矩形$BCFE$面积的2倍，所以$AE=2BE$.设$EF=BC=x$ $m$，$BE=FC=a$ $m$，则$AE=HG=DF=2a$ $m$.因为$DF + FC + HG + AE + BE + EF + BC=80$ $m$，所以$8a + 2x=80$，所以$a=-\frac{1}{4}x + 10$，所以$3a=-\frac{3}{4}x + 30$.设矩形区域$ABCD$的面积为$S$ $m^{2}$，则$S=x(-\frac{3}{4}x + 30)=-\frac{3}{4}x^{2}+30x=-\frac{3}{4}(x - 20)^{2}+300$.因为$a=-\frac{1}{4}x + 10＞0$，所以$x＜40$，所以当$x=20$时，$S$取最大值300.故围成的矩形区域$ABCD$的最大面积为$300$ $m^{2}$.
8. (2024·湖北)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成. 已知墙长 42 m，篱笆长 80 m. 如图，设垂直于墙的边 $ AB $的长为 $ x \mathrm{ m} $,平行于墙的边 $ BC $的长为 $ y \mathrm{ m} $,围成的矩形花圃的面积为 $ S \mathrm{ m} ^ { 2 } $.
(1) 求 $ y $与 $ x $及 $ S $与 $ x $之间的函数表达式;
(2) 围成的矩形花圃的面积能否为 750 $ \mathrm{m} ^ { 2 } $?若能，求此时 $ x $的值;若不能，请说明理由;
(3) 围成的矩形花圃的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值，并求此时 $ x $的值;若不存在，请说明理由.
答案：8. (1)由题意，得$2x + y=80$，所以$y=-2x + 80$.因为$0＜y\leq42$，所以$0＜-2x + 80\leq42$，所以$19\leq x＜40$.故$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-2x + 80(19\leq x＜40)$.因为$S=xy=x(-2x + 80)=-2x^{2}+80x$，所以$S$与$x$之间的函数表达式为$S=-2x^{2}+80x(19\leq x＜40)$.
(2)在$S=-2x^{2}+80x$中，令$S=750$，得$-2x^{2}+80x=750$.整理，得$x^{2}-40x + 375=0$，解得$x_{1}=25$，$x_{2}=15$(不合题意，舍去).故围成的矩形花圃的面积能为$750$ $m^{2}$，此时$x$的值为25.
(3)因为$S=-2x^{2}+80x=-2(x - 20)^{2}+800$，且$-2＜0$，所以当$x=20$时，$S$取最大值，且最大值为800.故围成的矩形花圃的面积存在最大值，且最大值为$800$ $m^{2}$，此时$x$的值为20.
9. 新素养
运算能力 某大学生利用业余时间销售一种进价为 60 元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下: (1)月销量 $ y $(件)与售价 $ x $(元/件)之间的函数表达式为 $ y = - 2 x + 400 $; (2)工商部门限制售价 $ x $满足 $ 70 \leqslant x \leqslant 150 $. 给出下列结论:① 这种文化衫的月销量最小为 100 件;② 这种文化衫的月销量最大为 260 件;③ 销售这种文化衫的月利润最小为 2 600 元;④ 销售这种文化衫的月利润最大为 9 000 元. 其中正确的是(
A
)
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②④
答案：9. A 解析：由题意，得当$70\leq x\leq150$时，$y=-2x + 400$.因为$-2＜0$，所以$y$随$x$增大而减小，所以当$x=150$时，$y$取最小值，且最小值为$-2×150 + 400=100$，故①正确；当$x=70$时，$y$取最大值，且最大值为$-2×70 + 400=260$，故②正确；设销售这种文化衫的月利润为$w$元.由题意，得$w=(x - 60)(-2x + 400)=-2x^{2}+520x - 24000=-2(x - 130)^{2}+9800$.因为$-2＜0$，$70\leq x\leq150$，所以当$x=70$时，$w$取最小值，且最小值为$-2×(70 - 130)^{2}+9800=2600$，故③正确；当$x=130$时，$w$取最大值9800，故④错误.
10. (2025·江苏连云港模拟)某电商销售一款夏季时装，进价为 40 元/件，售价为 110 元/件，每天销售 20 件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用 $ a $元 $ ( a ＞ 0 ) $. 未来 30 天，这款时装将开展“每天降价 1 元”的夏季促销活动，即从未来 30 天的第 1 天起每天的售价均比前一天降 1 元/件. 通过市场调研发现，该时装售价每降 1 元/件，每天的销售量增加 4 件. 在这 30 天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 $ t $( $ t $为正整数)增大而增大， $ a $的取值范围为
$0＜a＜6$
.
答案：10. $0＜a＜6$ 解析：设未来30天每天获得的利润为$y$元，则$y=(110 - 40 - t - a)(20 + 4t)$.整理，得$y=-4t^{2}+(260 - 4a)t + 1400 - 20a$，则易得函数图像开口向下，在对称轴的左侧，利润$y$随天数$t(t$为正整数)增大而增大.因为对称轴为直线$t=\frac{65 - a}{2}$，所以要使这30天内利润每天都增加，则$\frac{65 - a}{2}＞29.5$，解得$a＜6$.因为$a＞0$，所以$a$的取值范围为$0＜a＜6$.
11. 新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买 $ A $, $ B $两种花苗. 据了解，若购买 $ A $种花苗 3 盆， $ B $种花苗 5 盆，则需 210 元;若购买 $ A $种花苗 4 盆， $ B $种花苗 10 盆，则需 380 元.
(1) 求 $ A $, $ B $两种花苗的单价;
(2) 经九年级一班班委会商定，决定购买 $ A $, $ B $两种花苗共 12 盆进行搭配装扮教室. 种植基地的销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠:购买几盆 $ B $种花苗， $ B $种花苗每盆就降价几元. 本次购买最少需要多少元? 最多需要多少元?
答案：11. (1)设A种花苗的单价是$x$元/盆，B种花苗的单价是$y$元/盆.由题意，得$\begin{cases}3x + 5y=210,\\4x + 10y=380,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=30.\end{cases}$故A种花苗的单价是20元/盆，B种花苗的单价是30元/盆.
(2)设购买B种花苗$a$盆，总费用为$w$元，则购买A种花苗$(12 - a)$盆.由题意，得$w=20(12 - a)+a(30 - a)=-a^{2}+10a + 240=-(a - 5)^{2}+265(0\leq a\leq12$且$a$为整数).因为$-1＜0$，所以当$a=5$时，$w$取最大值265，当$a=12$时，$w$取最小值，且$w=12×(30 - 12)=216$.故本次购买最少需要216元，最多需要265元.
