8. 阅读材料，解答问题。
例：用图像法解一元二次不等式：$ x^{2} - 2x - 3 ＞ 0 $。
解：设 $ y = x^{2} - 2x - 3 $，则 $ y $是 $ x $的二次函数。因为 $ a = 1 ＞ 0 $，所以抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 3 $的开口向上。因为当 $ y = 0 $时，$ x^{2} - 2x - 3 = 0 $，解得 $ x_{1} = -1 $，$ x_{2} = 3 $，所以由此得抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 3 $的大致图像如图所示。观察函数图像可知：当 $ x ＜ -1 $或 $ x ＞ 3 $时，$ y ＞ 0 $，所以不等式 $ x^{2} - 2x - 3 ＞ 0 $的解集是 $ x ＜ -1 $或 $ x ＞ 3 $。
(1)观察图像，直接写出一元二次不等式 $ x^{2} - 2x - 3 ＜ 0 $的解集：
$-1 ＜ x ＜ 3$
；
(2)仿照上例，用图像法解一元二次不等式：$ x^{2} - 1 ＞ 0 $。
答案：8. (1)$-1 ＜ x ＜ 3$
(2)设$y = x^{2}-1$，则$y$是$x$的二次函数。因为$a = 1＞0$，所以抛物线$y = x^{2}-1$的开口向上。因为当$y = 0$时，$x^{2}-1 = 0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=1$，所以由此得抛物线$y = x^{2}-1$的大致图像如图所示。观察函数图像可知：当$x ＜ -1$或$x＞1$时，$y＞0$，所以不等式$x^{2}-1＞0$的解集是$x ＜ -1$或$x＞1$。
9. 已知函数 $ y = ax^{2} - (a + 1)x + 1 $，给出下列说法：① 若该函数图像与 $ x $轴只有一个交点，则 $ a = 1 $；② 方程 $ ax^{2} - (a + 1)x + 1 = 0 $至少有一个整数根；③ 若 $ \frac{1}{a} ＜ x ＜ 1 $，则 $ y = ax^{2} - (a + 1)x + 1 $的函数值都是负数；④ 不存在实数 $ a $，使得 $ ax^{2} - (a + 1)x + 1 \leq 0 $对任意实数 $ x $都成立。其中错误的个数为(
2
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：9. 2 解析：当$a = 0$时，函数即为$y = -x + 1$，该函数图像与$x$轴只有一个交点。当$a\neq0$时，函数为二次函数，则$[-(a + 1)]^{2}-4a=(a - 1)^{2}=0$，所以$a = 1$，所以当该函数图像与$x$轴只有一个交点时，$a = 0$或$1$，故①错误；当$a = 0$时，方程即为$-x + 1 = 0$，有一个整数根$1$；当$a\neq0$时，方程$ax^{2}-(a + 1)x + 1 = 0$即为$(ax - 1)(x - 1)=0$，其中一个根为$1$，所以该方程至少有一个整数根，故②正确；由已知条件$\frac{1}{a}＜x＜1$，得$a\neq0$，且$a＞1$或$a＜0$。当$a＞1$时，$y = ax^{2}-(a + 1)x + 1$的图像开口向上，对称轴为直线$x=\frac{a + 1}{2a}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2a}$，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大。因为$\frac{1}{a}+1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2a}$，所以直线$x=\frac{1}{a}$，$x = 1$与对称轴的距离相等。把$x = 1$代入$y = ax^{2}-(a + 1)x + 1$，得$y = 0$，此时当$\frac{1}{a}＜x＜1$时，函数值小于$0$。当$a＜0$时，$y = ax^{2}-(a + 1)x + 1$的图像开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，所以当$x=\frac{a + 1}{2a}$时，函数取最大值$\frac{4a-(a + 1)^{2}}{4a}=-\frac{(a - 1)^{2}}{4a}$。因为$a＜0$，所以$-\frac{(a - 1)^{2}}{4a}＞0$，即当$\frac{1}{a}＜x＜1$时，其对应的函数值不都是负数，故③错误；当$a = 0$时，原不等式变形为$-x + 1\leq0$，对任意实数$x$不一定成立；当$a\neq0$时，对于二次函数$y = ax^{2}-(a + 1)x + 1$，当$a＞0$时，函数图像开口向上，总有对应的函数值$y＞0$，此时不存在实数$a$使得$ax^{2}-(a + 1)x + 1\leq0$对任意实数$x$都成立，当$a＜0$时，函数图像开口向下，此时函数的最大值为$-\frac{(a - 1)^{2}}{4a}＞0$，即存在一部分实数$x$，其对应的函数值$y＞0$，此时不存在实数$a$使得$ax^{2}-(a + 1)x + 1\leq0$对任意实数$x$都成立，故④正确。综上所述，其中错误说法的个数为$2$。
10. 亮点原创 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $经过 $ M(-2024, 0) $，$ N(2025, 0) $两点，则关于 $ x $的一元二次方程 $ a(x - 2025)^{2} + c = 2025b - bx $的解是
$x_{1}=1$，$x_{2}=4050$
。
答案：10. $x_{1}=1$，$x_{2}=4050$ 解析：因为抛物线$y = ax^{2}+bx + c$经过$M(-2024,0)$，$N(2025,0)$两点，且该抛物线向右平移$2025$个单位长度后得到抛物线$y = a(x - 2025)^{2}+b(x - 2025)+c$，所以抛物线$y = a(x - 2025)^{2}+b(x - 2025)+c$与$x$轴两交点的坐标分别为$(1,0)$和$(4050,0)$，所以关于$x$的一元二次方程$a(x - 2025)^{2}+b(x - 2025)+c = 0$，即$a(x - 2025)^{2}+c = 2025b - bx$的解是$x_{1}=1$，$x_{2}=4050$。
11. 新趋势
推导探究 (2025·江苏扬州模拟)已知二次函数 $ y = x^{2} + x $的图像如图所示。
(1)根据方程的根与函数图像之间的关系，将方程 $ x^{2} + x = 1 $的根在图上近似地表示出来(描点)，并观察图像，写出方程 $ x^{2} + x = 1 $的近似根；(结果精确到 0.1)
(2)在同一平面直角坐标系中画出一次函数 $ y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} $的图像，观察图像，写出自变量 $ x $的取值在什么范围内时，一次函数 $ y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} $的值小于二次函数 $ y = x^{2} + x $的值；
(3)如图，$ P $是平面直角坐标系中一点，且在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图像的顶点落在点 $ P $处，写出平移后二次函数图像的函数表达式，并判断点 $ P $是否在函数 $ y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} $的图像上，请说明理由。
答案：11. (1)作直线$y = 1$，交抛物线于$A$，$B$两点，分别过$A$，$B$两点作$AC⊥ x$轴，垂足为$C$，$BD⊥ x$轴，垂足为$D$，则点$C$，$D$的横坐标即为方程$x^{2}+x = 1$的根，图略。观察图像可知方程$x^{2}+x = 1$的近似根为$x_{1}\approx - 1.6$，$x_{2}\approx0.6$。
(2)图略。观察图像可知直线$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$与抛物线$y = x^{2}+x$的两个交点的坐标分别为$(-\frac{3}{2},\frac{3}{4})$，$(1,2)$，所以当$x ＜ -\frac{3}{2}$或$x＞1$时，一次函数$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$的值小于二次函数$y = x^{2}+x$的值。
(3)由题图知原二次函数图像的顶点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$，$P(-1,1)$，所以原二次函数图像先向上平移$\frac{5}{4}$个单位长度，再向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度，所得函数图像的顶点落在点$P$处（平移方法不唯一）；平移后二次函数图像的函数表达式为$y=(x + 1)^{2}+1$，即$y = x^{2}+2x + 2$。点$P$在函数$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$的图像上。理由如下：把$x = -1$代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，得$y = 1$，所以点$P$在函数$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$的图像上。
