10. 新素养
几何直观如图是二次函数$ y = ax^{2} + bx $的图像。若关于x的一元二次方程$ ax^{2} + bx + m = 0 $有实数根，则m的最大值为
3
。
答案：10.3
解析：
解：由二次函数$y = ax^{2} + bx$的图像可知，其顶点纵坐标为$-3$，即$y_{\mathrm{min}}=-3$。
因为关于$x$的一元二次方程$ax^{2} + bx + m = 0$有实数根，所以$ax^{2} + bx=-m$有实数解，即$y=-m$与二次函数$y = ax^{2} + bx$的图像有交点。
又因为$y_{\mathrm{min}}=-3$，所以$-m\geq -3$，解得$m\leq 3$。
故$m$的最大值为$3$。
3
11. 已知函数$ y = mx^{2} + 3mx + m - 1 $的图像与坐标轴恰有两个交点，则$ m = $
$1$或$-\frac{4}{5}$
。
答案：11.$1$或$-\frac{4}{5}$ 解析：当$m=0$时，函数表达式为$y=-1$，函数图像与坐标轴只有$1$个交点，不合题意，所以$m\neq0$，所以抛物线$y=mx^{2}+3mx+m-1$与坐标轴恰有两个交点。分类讨论如下：①当该抛物线经过原点时，$m-1=0$，解得$m=1$，符合题意；②当该抛物线与$x$轴只有$1$个交点时，$(3m)^{2}-4m(m-1)=0$，解得$m_{1}=0$(不合题意，舍去)，$m_{2}=-\frac{4}{5}$。综上所述，$m$的值为$1$或$-\frac{4}{5}$。
易错警示：注意分类讨论，避免漏解。
12. 在平面直角坐标系中，已知$ A(-1,m) $，$ B(5,m) $是抛物线$ y = x^{2} + bx + 1 $上的两点，将抛物线$ y = x^{2} + bx + 1 $向上平移n(n是正整数)个单位长度，使平移后的图像与x轴没有交点，则n的最小值为
4
。
答案：12.$4$ 解析：因为$A(-1,m)$，$B(5,m)$是抛物线$y=x^{2}+bx+1$上的两点，所以该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$，所以$-\frac{b}{2}=2$，解得$b=-4$，所以该抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-4x+1$。将抛物线$y=x^{2}-4x+1$向上平移$n$个单位长度后得抛物线$y=x^{2}-4x+1+n$。因为平移后的图像与$x$轴没有交点，所以$(-4)^{2}-4(1+n)＜0$，解得$n＞3$。因为$n$是正整数，所以$n$的最小值为$4$。
解析：
因为$A(-1,m)$，$B(5,m)$是抛物线$y = x^{2} + bx + 1$上的两点，所以抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1 + 5}{2}=2$。
由对称轴公式$-\frac{b}{2}=2$，解得$b=-4$，则抛物线表达式为$y=x^{2}-4x + 1$。
向上平移$n$个单位后得$y=x^{2}-4x + 1 + n$。
因为平移后图像与$x$轴无交点，所以$\Delta=(-4)^{2}-4×1×(1 + n)＜0$，即$16-4(1 + n)＜0$，解得$n＞3$。
又因为$n$是正整数，所以$n$的最小值为$4$。
13. (2024·山东威海)已知抛物线$ y = x^{2} + bx + c(b ＜ 0) $与x轴的两个交点的坐标分别为$ (x_{1},0) $，$ (x_{2},0) $，且$ x_{1} ＜ x_{2} $。
(1) 若抛物线$ y_{1} = x^{2} + bx + c + 1(b ＜ 0) $与x轴的两个交点的坐标分别为$ (x_{3},0) $，$ (x_{4},0) $，且$ x_{3} ＜ x_{4} $，试判断下列每组数据的大小：(填“＞”“＜”或“=”)
① $ x_{1} + x_{2} $_________$ x_{3} + x_{4} $；
② $ x_{1} - x_{3} $_________$ x_{2} - x_{4} $；
③ $ x_{2} + x_{3} $_________$ x_{1} + x_{4} $；
(2) 若$ x_{1} = 1 $，$ 2 ＜ x_{2} ＜ 3 $，求b的取值范围；
(3) 若当$ 0 \leqslant x \leqslant 1 $时，函数$ y = x^{2} + bx + c(b ＜ 0) $的最大值与最小值的差为$ \frac{9}{16} $，求b的值。
答案：13.(1)①= ②＜ ③＞
(2)由题意，得$x_{1}+x_{2}=-b$。因为$x_{1}=1$，所以$1+x_{2}=-b$，所以$x_{2}=-b-1$。因为$2＜x_{2}＜3$，所以$2＜-b-1＜3$，解得$-4＜b＜-3$。故$b$的取值范围为$-4＜b＜-3$。
(3)因为$y=x^{2}+bx+c=(x+\frac{b}{2})^{2}+c-\frac{b^{2}}{4}$，所以抛物线$y=x^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2},c-\frac{b^{2}}{4})$。在$y=x^{2}+bx+c$中，令$x=0$，得$y=c$；令$x=1$，得$y=1+b+c$。因为$b＜0$，所以$-\frac{b}{2}＞0$。因为当$0\leq x\leq1$时，函数$y=x^{2}+bx+c$的最大值与最小值的差为$\frac{9}{16}$，所以分类讨论如下：①当$-\frac{b}{2}\geq1$，即$b\leq-2$时，函数$y=x^{2}+bx+c$的最大值为$c$，最小值为$1+b+c$，所以$c-(1+b+c)=\frac{9}{16}$，所以$b=-\frac{25}{16}$(不合题意，舍去)；②当$\frac{1}{2}＜-\frac{b}{2}＜1$，即$-2＜b＜-1$时，函数$y=x^{2}+bx+c$的最大值为$c$，最小值为$c-\frac{b^{2}}{4}$，所以$c-(c-\frac{b^{2}}{4})=\frac{9}{16}$，所以$b=-\frac{3}{2}$（$b=\frac{3}{2}$不合题意，舍去）；③当$0＜-\frac{b}{2}＜\frac{1}{2}$，即$-1\leq b＜0$时，函数$y=x^{2}+bx+c$的最大值为$1+b+c$，最小值为$c-\frac{b^{2}}{4}$，所以$1+b+c-(c-\frac{b^{2}}{4})=\frac{9}{16}$，所以$b=-\frac{1}{2}$（$b=-\frac{7}{2}$不合题意，舍去）。综上所述，$b$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{1}{2}$。
14. (2025·江苏镇江模拟)在平面直角坐标系中，已知函数$ y = (x + a)(x + b) $的图像与x轴有m个交点，函数$ y = (ax + 1)(bx + 1) $的图像与x轴有n个交点。若$ a \neq b $，则下列结论正确的是(
C
)
A.$ m = n - 1 $或$ m = n + 1 $
B.$ m = n - 1 $或$ m = n + 2 $
C.$ m = n $或$ m = n + 1 $
D.$ m = n $或$ m = n - 1 $
答案：14.C 解析：因为$a\neq b$，所以函数$y=(x+a)(x+b)$的图像与$x$轴有$2$个交点，所以$m=2$。$y=(ax+1)(bx+1)=abx^{2}+(a+b)x+1$。分类讨论如下：①当$ab\neq0$时，因为$(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2}＞0$，所以函数$y=(ax+1)(bx+1)$的图像与$x$轴有$2$个交点，所以$n=2$，此时$m=n$；②当$ab=0$时，不妨令$a=0$。因为$a\neq b$，所以$b\neq0$，所以函数$y=(ax+1)(bx+1)=bx+1$为一次函数，函数图像与$x$轴有$1$个交点，所以$n=1$，此时$m=n+1$。综上所述，$m=n$或$m=n+1$。
15. 已知抛物线$ y = ax^{2} + (a^{2} - 1)x - a $与x轴的一个交点的坐标为$ (m,0) $。若$ 2 ＜ m ＜ 3 $，则a的取值范围是
$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$
。
答案：15.$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$ 解析：$y=ax^{2}+(a^{2}-1)x-a=(ax-1)(x+a)$。解方程$(ax-1)(x+a)=0$，得$x_{1}=\frac{1}{a}$，$x_{2}=-a$，所以该抛物线与$x$轴的两个交点的坐标分别为$(\frac{1}{a},0)$和$(-a,0)$。因为该抛物线与$x$轴的一个交点的坐标为$(m,0)$，且$2＜m＜3$，所以分类讨论如下：①当$a＞0$时，$2＜\frac{1}{a}＜3$，解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$；②当$a＜0$时，$2＜-a＜3$，解得$-3＜a＜-2$。综上所述，$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$。
解析：
解：$y=ax^{2}+(a^{2}-1)x-a=(ax-1)(x+a)$
解方程$(ax-1)(x+a)=0$，得$x_{1}=\frac{1}{a}$，$x_{2}=-a$
抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(\frac{1}{a},0)$和$(-a,0)$
①当$a＞0$时，$2＜\frac{1}{a}＜3$，解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$
②当$a＜0$时，$2＜-a＜3$，解得$-3＜a＜-2$
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$
16. 新素养推理能力已知二次函数$ y = x^{2} - (m + 1)x + m $。
(1) 求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有交点；
(2) 若把该二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图像的函数表达式为$ y = x^{2} $，求m的值；
(3) 若该二次函数的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，则当$ \triangle ABC $的面积与$ \triangle ABD $的面积相等时，求m的值。
答案：16.(1)因为在关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m+1)x+m=0$中，$b^{2}-4ac=(m+1)^{2}-4m=(m-1)^{2}\geq0$，所以不论$m$为何值，该二次函数的图像与$x$轴总有交点。
(2)由题意，得该二次函数的表达式为$y=(x-2)^{2}-1$，即$y=x^{2}-4x+3$，所以$m=3$。
(3)在$y=x^{2}-(m+1)x+m$中，令$x=0$，得$y=m$，所以$C(0,m)$。因为$y=x^{2}-(m+1)x+m=(x-\frac{m+1}{2})^{2}-\frac{(m-1)^{2}}{4}$，所以$D(\frac{m+1}{2},-\frac{(m-1)^{2}}{4})$。过点$D$作$DH⊥ x$轴于点$H$。因为$CO⊥ x$轴，点$A$，$B$在$x$轴上（$A$，$B$两点不重合，即$m\neq1$），所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· CO$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB· DH$。因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}$，所以$CO=DH$，所以$|m|=|-\frac{(m-1)^{2}}{4}|$。整理，得$(m-1)^{2}=4|m|$。当$m\geq0$且$m\neq1$时，$(m-1)^{2}=4m$，解得$m_{1}=3-2\sqrt{2}$，$m_{2}=3+2\sqrt{2}$；当$m＜0$时，$(m-1)^{2}=-4m$，解得$m=-1$。综上所述，$m$的值为$3-2\sqrt{2}$或$3+2\sqrt{2}$或$-1$。
