1. 定义：$[a,b,c]$为二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的特征数，下面给出特征数为$[m,1 - m,2 - m]$的二次函数的一些结论：① 当$m = 1$时，函数图像的对称轴为$y$轴；② 当$m = 2$时，函数图像经过原点；③ 当$m＞0$时，函数有最小值；④ 若$m＜0$，则当$x＞\frac{1}{2}$时，$y$随$x$增大而减小. 其中所有正确结论的序号是
①②③
.
答案：1. ①②③ 解析：由题意，得该二次函数的表达式为$y=mx^{2}+(1-m)x + 2 - m$。当$m = 1$时，该二次函数的表达式为$y = x^{2}+1$，函数图像的对称轴为$y$轴，故①正确；当$m = 2$时，该二次函数的表达式为$y = 2x^{2}-x$。当$x = 0$时，$y = 0$，所以函数图像经过原点，故②正确；当$m＞0$时，该二次函数的图像开口向上，函数有最小值，故③正确；二次函数$y = mx^{2}+(1 - m)x + 2 - m$的图像的对称轴为直线$x = -\frac{1 - m}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2m}$。若$m＜0$，则该二次函数的图像开口向下，且当$x＞\frac{1}{2}-\frac{1}{2m}$时，$y$随$x$增大而减小。又当$m＜0$时，$\frac{1}{2}-\frac{1}{2m}＞\frac{1}{2}$，所以当$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}-\frac{1}{2m}$时，$y$随$x$增大而增大，故④错误。
2. 阅读下列材料：
在$\triangle ABC$中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，求证：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
证明：如图①，过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$. 在$Rt\triangle BCD$中，$CD = a\sin B$，在$Rt\triangle ACD$中，$CD = b\sin A$，所以$a\sin B = b\sin A$，所以$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$. 根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图②，在$\triangle ABC$中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，求证：$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$；
（2）如图③，规划中的一片三角形区域需美化. 若$\angle BAC = 67^{\circ}$，$\angle ABC = 53^{\circ}$，$AC = 80m$，求这片区域的面积.（结果保留根号，参考数据：$\sin 53^{\circ}\approx0.8$，$\sin 67^{\circ}\approx0.9$）
答案：2. (1)过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，则在$Rt\triangle ACE$中，$AE = b\sin C$，在$Rt\triangle ABE$中，$AE = c\sin B$，所以$b\sin C = c\sin B$，所以$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
(2)过点$A$作$AF⊥ BC$于点$F$，则$\angle AFC = 90^{\circ}$。因为$\angle BAC = 67^{\circ}$，$\angle ABC = 53^{\circ}$，所以$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle BAC - \angle ABC = 60^{\circ}$。因为$AC = 80\ m$，所以$AF = AC·\sin\angle ACB = 40\sqrt{3}\ m$。由题意，得$\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AC}{\sin\angle ABC}$，$\sin\angle BAC\approx0.9$，$\sin\angle ABC\approx0.8$，所以$BC\approx90\ m$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC· AF = 1800\sqrt{3}\ m^{2}$。故这片区域的面积约为$1800\sqrt{3}\ m^{2}$。
3. 【问题背景】
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论. 如图①，已知$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，可证$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$. 小慧的证明思路如下：如图②，过点$C$作$CE// AB$，交$AD$的延长线于点$E$，构造相似三角形来证明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
【尝试证明】
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$；
【应用拓展】
（2）如图③，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$D$是边$BC$上一点，连接$AD$，将$\triangle ACD$沿$AD$所在直线折叠，点$C$恰好落在边$AB$上的点$E$处.
① 若$AC = 1$，$AB = 2$，求$DE$的长；
② 若$BC = m$，$\angle AED = \alpha$，求$DE$的长.（用含$m$，$\alpha$的代数式表示）
答案：3. (1)因为$CE// AB$，所以$\angle B = \angle DCE$，$\angle BAD = \angle E$，所以$\triangle BAD∼\triangle CED$，所以$\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{CD}$。因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle BAD = \angle CAD$，所以$\angle E = \angle CAD$，所以$AC = CE$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2)①由折叠的性质，得$CD = DE$，$\angle CAD = \angle BAD$。由(1)，得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。因为$AC = 1$，$AB = 2$，所以$\frac{BD}{CD}=2$，所以$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$。因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$BC = \sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{5}$，所以$DE = CD=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
②由折叠的性质，得$CD = DE$，$\angle CAD = \angle BAD$，$\angle C = \angle AED = \alpha$，所以$\tan C = \tan\angle AED = \tan\alpha$。因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\tan C = \frac{AB}{AC}$，所以$\frac{AB}{AC}=\tan\alpha$。由(1)，得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，所以$\frac{BD}{CD}=\tan\alpha$，所以$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{1 + \tan\alpha}$。因为$BC = m$，所以$DE = CD=\frac{m}{1 + \tan\alpha}$。
