1. 亮点原创·随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由四个小正方形组成的“
”进行涂色，每个小正方形任意涂成黑色或白色，则黑色小正方形比白色小正方形多的概率为(
A
)
A.$\frac{5}{16}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{7}{16}$
D.$\frac{1}{2}$
答案：1．A
解析：
每个小正方形有2种涂色方式，4个小正方形共有$2^4 = 16$种等可能的结果。
黑色小正方形比白色小正方形多的情况：
黑色4个，白色0个：1种；
黑色3个，白色1个：$\binom{4}{3} = 4$种。
共$1 + 4 = 5$种结果。
概率为$\frac{5}{16}$。
A
2. (2024·黑龙江大庆)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国.某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的 30 天中，第 $x$ 天($1\leqslant x\leqslant 30$ 且 $x$ 为整数)的售价为 $y$(元/千克)，且当 $1\leqslant x\leqslant 20$ 时，$y = kx + b$；当 $20\lt x\leqslant 30$ 时，$y = 15$.销量 $z$(千克)与 $x$ 之间的函数表达式为 $z = x + 10$.已知该产品第 10 天的售价为 20 元/千克，第 15 天的售价为 15 元/千克.设第 $x$ 天的销售额为 $M$(元).
(1) $k =$
－1
，$b =$
30
；
(2) 求 $M$ 与 $x$ 之间的函数表达式；
(3) 在试销售的 30 天中，共有多少天销售额超过 500 元？
答案：2．(1)－1 30
(2)当$1 \leq x \leq 20$时，$M=(-x + 30)(x + 10)=-x^{2} + 20x + 300$；当$20 ＜ x \leq 30$时，$M = 15(x + 10)=15x + 150$。综上所述，$M$与$x$之间的函数表达式为$M=\begin{cases}-x^{2} + 20x + 300, & 1 \leq x \leq 20 \mathrm{ 且 } x \mathrm{ 为整数} \\15x + 150, & 20 ＜ x \leq 30 \mathrm{ 且 } x \mathrm{ 为整数}\end{cases}$
(3)当$1 \leq x \leq 20$时，$M=-x^{2} + 20x + 300=-(x - 10)^{2} + 400$，则当$x = 10$时，$M$取最大值$400$。当$20 ＜ x \leq 30$时，$M = 15x + 150$。令$M ＞ 500$，得$15x + 150 ＞ 500$，解得$x ＞ 23\frac{1}{3}$。因为$x$为整数，所以$x$可取$24,25,26,27,28,29,30$，即共有7天销售额超过$500$元。
3. (2025·江苏盐城模拟)如图是某水库大坝的横截面，坝高 $CD = 20$ m，背水坡 $BC$ 的坡度为 $i_1 = 1:1$.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 $i_2 = 1:\sqrt{3}$，求背水坡新起点 $A$ 与原起点 $B$ 之间的距离.（结果精确到 $0.1$ m，参考数据：$\sqrt{2}\approx 1.41$，$\sqrt{3}\approx 1.73$）
答案：3．因为$i_{1}=1:1$，所以$\frac{CD}{BD}=1$。因为$CD = 20\ m$，所以$BD = 20\ m$。因为$i_{2}=1:\sqrt{3}$，所以$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，所以$AD = 20\sqrt{3}\ m$，所以$AB = AD - BD = 20(\sqrt{3}-1)m \approx 14.6\ m$。故背水坡新起点$A$与原起点$B$之间的距离约为$14.6\ m$。
解析：
解：因为背水坡$BC$的坡度$i_1 = 1:1$，所以$\frac{CD}{BD}=1$。
已知$CD = 20\ \mathrm{m}$，则$BD = 20\ \mathrm{m}$。
因为新背水坡的坡度$i_2 = 1:\sqrt{3}$，所以$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$AD=\sqrt{3}CD$。
代入$CD = 20\ \mathrm{m}$，得$AD = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此，$AB=AD - BD=20\sqrt{3}-20=20(\sqrt{3}-1)$。
将$\sqrt{3}\approx1.73$代入，得$AB\approx20×(1.73 - 1)=20×0.73=14.6\ \mathrm{m}$。
答：背水坡新起点$A$与原起点$B$之间的距离约为$14.6\ \mathrm{m}$。
4. 如图，$AB$ 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动，小宇在点 $A$ 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东 $68^{\circ}$ 方向的点 $C$ 处，观光船到滨海大道的距离 $CB = 200$ m.当小宇沿滨海大道向东步行 200 m 到达点 $E$ 时，观光船沿北偏西 $40^{\circ}$ 的方向航行至点 $D$ 处，此时观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从 $C$ 处航行到 $D$ 处的距离.（参考数据：$\sin 40^{\circ}\approx 0.64$，$\cos 40^{\circ}\approx 0.77$，$\tan 40^{\circ}\approx 0.84$，$\sin 68^{\circ}\approx 0.93$，$\cos 68^{\circ}\approx 0.37$，$\tan 68^{\circ}\approx 2.48$）
答案：4．过点$C$作$CF ⊥ DE$于点$F$，则$CF = BE$，$\angle CFD = 90^{\circ}$。由题意，得$\angle ACB = 68^{\circ}$，$\angle D = 40^{\circ}$。因为$CB = 200\ m$，所以$AB = CB · \tan\angle ACB \approx 200 × 2.48 = 496(m)$。因为$AE = 200\ m$，所以$CF = BE = AB - AE = 296\ m$，所以$CD=\frac{CF}{\sin D} \approx \frac{296}{0.64}=462.5(m)$。故观光船从$C$处航行到$D$处的距离约为$462.5\ m$。
解析：
解：过点$C$作$CF ⊥ DE$于点$F$，则$CF = BE$，$\angle CFD = 90^{\circ}$。
由题意得，$\angle CAB = 90^{\circ}-68^{\circ}=22^{\circ}$，在$Rt\triangle ABC$中，$\tan\angle CAB=\frac{CB}{AB}$，$CB = 200\ m$，所以$AB=\frac{CB}{\tan\angle CAB}=\frac{200}{\tan22^{\circ}}$。因为$\tan68^{\circ}=\frac{1}{\tan22^{\circ}}\approx2.48$，所以$AB\approx200×2.48 = 496\ m$。
因为$AE = 200\ m$，所以$BE=AB - AE=496 - 200=296\ m$，即$CF = 296\ m$。
在$Rt\triangle CDF$中，$\angle D = 40^{\circ}$，$\sin D=\frac{CF}{CD}$，所以$CD=\frac{CF}{\sin D}\approx\frac{296}{0.64}=462.5\ m$。
答：观光船从$C$处航行到$D$处的距离约为$462.5\ m$。
