1. (2025·江苏扬州模拟)八卦图是我国古老的科学文化遗产,是古代劳动人民智慧的结晶.古人认为,世间万物皆可分类归至八卦之中.相传,德国数学家莱布尼茨受八卦图的启发而发明了电子计算机使用的二进制.如图,八卦图中的每一卦由三根线组成.如果从图中任选一卦,那么这一卦中恰有2根"■■"和1根"■ ■"的概率是(
C
)
A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{5}{8}$
答案：1.C
解析：
八卦图中共有8卦，其中恰有2根"■■"和1根"■ ■"的卦有3种，所以概率为$\frac{3}{8}$。
C
2. (2023·山东淄博)勾股定理的证明方法丰富多样,其中我国古代数学家赵爽利用"弦图"的证明简明、直观,是世界公认最巧妙的方法."赵爽弦图"已成为我国古代数学成就的一个重要标志.在如图所示的"赵爽弦图"中,连接$EG,DG$.若正方形$ABCD$与正方形$EFGH$的边长之比为$\sqrt{5}:1$,则$\sin\angle DGE$的值为(
A
)
A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
]
答案：2.A解析：过点D作DN⊥EG交GE的延长线于点N，则∠N=90°.设AG=BH=CE=DF=a，AF=BG=CH=DE=b，正方形EFGH的边长为x，则EF=FG=x.因为AG=AF+FG，所以a=b+x.因为正方形ABCD与正方形EFGH的边长之比为$\sqrt{5}$:1，所以AB=$\sqrt{5}$x.因为∠AGB=90°，所以$AG^{2}+BG^{2}=AB^{2}$，所以$a^{2}+b^{2}=5x^{2}$，所以$(b+x)^{2}+b^{2}=5x^{2}$，所以$2x^{2}-bx-b^{2}=0$，即$(2x+b)(x-b)=0$.因为$2x+b＞0$，所以x-b=0，所以b=x，所以a=2x.因为∠DFG=90°，所以DG=$\sqrt{DF^{2}+FG^{2}}=\sqrt{5}x$.因为∠DEN=∠FEG=45°，所以$DN=DE· \sin\angle DEN=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，所以$\sin\angle DGE=\frac{DN}{DG}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
解析：
解：过点$D$作$DN ⊥ EG$交$GE$的延长线于点$N$，则$\angle N = 90°$。
设$AG = BH = CE = DF = a$，$AF = BG = CH = DE = b$，正方形$EFGH$的边长为$x$，则$EF = FG = x$。
因为$AG = AF + FG$，所以$a = b + x$。
因为正方形$ABCD$与正方形$EFGH$的边长之比为$\sqrt{5}:1$，所以$AB = \sqrt{5}x$。
在$Rt\triangle AGB$中，$AG^2 + BG^2 = AB^2$，即$a^2 + b^2 = (\sqrt{5}x)^2 = 5x^2$。
将$a = b + x$代入，得$(b + x)^2 + b^2 = 5x^2$，化简得$2b^2 + 2bx - 4x^2 = 0$，即$b^2 + bx - 2x^2 = 0$，因式分解得$(b + 2x)(b - x) = 0$。
因为$b + 2x ＞ 0$，所以$b = x$，则$a = b + x = 2x$。
在$Rt\triangle DFG$中，$DG = \sqrt{DF^2 + FG^2} = \sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{5}x$。
因为$\angle DEN = \angle FEG = 45°$，$DE = b = x$，所以$DN = DE · \sin 45° = x · \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在$Rt\triangle DNG$中，$\sin\angle DGE = \frac{DN}{DG} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
答案：$\frac{\sqrt{10}}{10}$
3. (2025·湖北)窗,让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图,"步步锦""龟背锦""灯笼锦"是我国传统的窗格构造方式,从这三种方式中任意选出一种制作窗格,选中"步步锦"的概率是
$\frac{1}{3}$
.
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答案：3.$\frac{1}{3}$
4. 我国古代数学著作《九章算术》中记载:"今有邑方不知大小,各中开门.出北门八十步有木,出西门二百四十五步有木.问邑方几何?"意思如下:如图,在正方形$ABCD$中,$F,G$分别是$AD,AB$的中点.若$EF⊥ AD,EF=80$,$HG⊥ AB,HG=245$,且$EH$经过点$A$,则正方形$ABCD$的边长为
280
.
答案：4.280
解析：
设正方形$ABCD$的边长为$x$。
因为$F$，$G$分别是$AD$，$AB$的中点，所以$AF = \frac{x}{2}$，$AG = \frac{x}{2}$。
由于$EF ⊥ AD$，$HG ⊥ AB$，所以$\angle AFE = \angle AGH = 90°$。
又因为$\angle EAF = \angle HAG$（公共角），所以$\triangle AEF ∼ \triangle AHG$。
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{EF}{AG} = \frac{AF}{HG}$，即$\frac{80}{\frac{x}{2}} = \frac{\frac{x}{2}}{245}$。
化简得$(\frac{x}{2})^2 = 80 × 245$，$\frac{x^2}{4} = 19600$，$x^2 = 78400$，解得$x = 280$（边长不能为负，舍去负值）。
280
5. "二十四节气"是我国古代订立的一种用来指导农事的补充历法,在国际气象界被誉为"中国的第五大发明",并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.数学课上,王老师准备了一个不透明的盒子,里面装有4张卡片,卡片上分别印有"立春""立夏""立秋""立冬"四个节气的图案,这些卡片除图案不同外,其余均相同.小亮先从盒子中任意抽取1张卡片,小力再从盒中剩余的3张卡片中任意抽取1张.
(1) 小亮抽到的卡片是"立夏"的概率为
$\frac{1}{4}$
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(2) 请用列表或画树状图的方法,求两人抽到的卡片恰好是"立春"和"立冬"的概率.
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答案：5.(1)$\frac{1}{4}$
(2)把印有“立春”“立夏”“立秋”“立冬”的4张卡片分别记为A,B,C,D.画树状图如下:
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“立春”和“立冬”的结果有2种，所以两人抽到的卡片恰好是“立春”和“立冬”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
