典例3 观察下列各式，并解答问题：
$\dfrac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$；$\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$；$\dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$；$\dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$……
(
1)若$n$为正整数，则$\dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$
$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$
；
(2)计算：$(\dfrac{1}{\sqrt{2} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ··· + \dfrac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}}) × (\sqrt{2026} + 1)$.
答案：【思路分析】(1)观察题目所给等式得出规律，即可进行解答；(2)根据(1)中总结的一般规律，先将第一个括号化简，再根据平方差公式进行计算即可.
【答案】(1)$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$
(2)原式$= (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + ··· + \sqrt{2026} - \sqrt{2025}) · (\sqrt{2026} + 1) = (\sqrt{2026} - 1)(\sqrt{2026} + 1) = 2026 - 1 = 2025$.
【变式3】新趋势
推导探究 观察下列各式，并解答下列问题：
第1个等式：$\dfrac{1}{\sqrt{2} + 2\sqrt{1}} = \dfrac{1}{\sqrt{1}} - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$；
第2个等式：$\dfrac{1}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}}$；
第3个等式：$\dfrac{1}{3\sqrt{4} + 4\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{4}}$
……
(1)第4个等式为
$\frac{1}{4\sqrt{5}+5\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{5}}$
；
(2)猜想第$n$($n$为正整数)个等式为
$\frac{1}{n\sqrt{n + 1}+(n + 1)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$
；
(3)计算：$\dfrac{
1}{\sqrt{2} + 2\sqrt{1}} + \dfrac{1}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} + ··· + \dfrac{1}{2024\sqrt{2025} + 2025\sqrt{2024}}$.
答案：(1)$\frac{1}{4\sqrt{5}+5\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{5}}$
(2)
①$\frac{1}{n\sqrt{n + 1}+(n + 1)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$；
解析：因为第1个等式：$\frac{1}{\sqrt{2}+2\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$；第2个等式：$\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$；第3个等式：$\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}$……所以第$n$个等式为$\frac{1}{n\sqrt{n + 1}+(n + 1)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$.
(3)原式$=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+···+\frac{1}{\sqrt{2024}}-\frac{1}{\sqrt{2025}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2025}}=1-\frac{1}{45}=\frac{44}{45}$
