典例 3
比较$3\sqrt{2}-4$和$2\sqrt{3}-\sqrt{10}$的大小。
答案：【思路分析】先对$3\sqrt{2}-4$和$2\sqrt{3}-\sqrt{10}$进行分子有理化，发现得到的分数的分子相同，利用正数情况下，分子相同，分母越小，分数的值越大进行比较。
【答案】$3\sqrt{2}-4=\frac{(3\sqrt{2}-4)(3\sqrt{2}+4)}{3\sqrt{2}+4}=\frac{2}{3\sqrt{2}+4}$，$2\sqrt{3}-\sqrt{10}=\frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{10})(2\sqrt{3}+\sqrt{10})}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}=\frac{2}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}$。因为$3\sqrt{2}+4=\sqrt{18}+\sqrt{16}$，$2\sqrt{3}+\sqrt{10}=\sqrt{12}+\sqrt{10}$，所以$3\sqrt{2}+4＞2\sqrt{3}+\sqrt{10}$，即$\frac{2}{3\sqrt{2}+4}＜\frac{2}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}$。所以$3\sqrt{2}-4＜2\sqrt{3}-\sqrt{10}$。
【变式 3】
比较$P=\sqrt{a + 3}+\sqrt{a + 7}$与$Q = 2\sqrt{a + 5}$($a＞-3$)的大小。
答案：【变式3】因为$\sqrt{a+7}-\sqrt{a+5}=\frac{2}{\sqrt{a+7}+\sqrt{a+5}}，$
$\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}=\frac{2}{\sqrt{a+5}+\sqrt{a+3}}，$$\sqrt{a+7}＞\sqrt{a+5}＞\sqrt{a+3}，$所以$\frac{2}{\sqrt{a+7}+\sqrt{a+5}}＜ \frac{2}{\sqrt{a+5}+\sqrt{a+3}}，$即$\sqrt{a+7}-\sqrt{a+5}＜\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}.$所以$\sqrt{a+7}+\sqrt{a+3}＜2\sqrt{a+5}.$又$P=\sqrt{a+3}+\sqrt{a+7},Q=2\sqrt{a+5}，$所以P＜Q.
典例 4
已知$\sqrt{\frac{7 - 2a}{(a - 2)^{2}}}=-\frac{\sqrt{7 - 2a}}{2 - a}$，则$a$的取值范围是(
)
A.$2\leqslant a＜\frac{7}{2}$
B.$a＜2$
C.$2＜a\leqslant\frac{7}{2}$
D.$a\geqslant\frac{7}{2}$
答案：【思路分析】因为$\sqrt{\frac{7 - 2a}{(a - 2)^{2}}}=-\frac{\sqrt{7 - 2a}}{2 - a}$，所以$2 - a＜0$，$7 - 2a\geqslant0$，解得$2＜a\leqslant\frac{7}{2}$。则$a$的取值范围是$2＜a\leqslant\frac{7}{2}$。
【答案】C
【变式 4】
已知$\sqrt{(m^{2}-7m + 10)(2 - m)}=-(m - 2)\sqrt{5 - m}$，求$m$的取值范围。
答案：【变式4】因为$\sqrt{(m^2-7m+10)(2-m)}=-(m-2)\sqrt{5-m}，$所以$m-2\leq0,5-m\geq0,$解得$m\leq2.$则m的取值范围是$m\leq2.$
解析：
因为$\sqrt{(m^2 - 7m + 10)(2 - m)} = \sqrt{(m - 2)(m - 5)(2 - m)} = \sqrt{-(m - 2)^2(5 - m)}$，又因为$\sqrt{(m^2 - 7m + 10)(2 - m)} = -(m - 2)\sqrt{5 - m}$，所以$-(m - 2) \geq 0$且$5 - m \geq 0$。由$-(m - 2) \geq 0$得$m - 2 \leq 0$，即$m \leq 2$；由$5 - m \geq 0$得$m \leq 5$。综上，$m$的取值范围是$m \leq 2$。
