【变式 2】
用拆项补项法将下列各式分解因式：
(1)$x^{4}+2026x^{2}+2025x + 2026$；
(2)$a^{3}+8b^{3}$.
答案：(1) 原式$=x^{4} + x^{3} + x^{2} - (x^{3} + x^{2} + x) +(2026x^{2} + 2026x + 2026)=x^{2}(x^{2} + x + 1) -x(x^{2} + x + 1) + 2026(x^{2} + x + 1)=(x^{2} - x +2026)(x^{2} + x + 1)$．
(2) 原式$=a^{3} + 2a^{2}b - 2a^{2}b + 8b^{3}=a^{2}(a + 2b) -2b(a^{2} - 4b^{2})=a^{2}(a + 2b) - 2b(a + 2b)(a - 2b)=(a + 2b)(a^{2} - 2ab + 4b^{2})$．
典例 3 新素养 推理能力
“我们把形如$a^{2}+2ab + b^{2}$及$a^{2}-2ab + b^{2}$的多项式叫作完全平方式.”当一个多项式不是完全平方式时，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法. 用配方法解答下列问题：
(1)分解因式：$m^{2}-2m - 3$；
(2)当$a$，$b$为何值时，多项式$a^{2}+b^{2}-2a + 4b + 8$取最小值？并求出这个最小值；
(3)已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$三条边的长，且满足$a^{2}+b^{2}-8a - 6b + c^{2}+18 = 10c - 32$，试判断$\triangle ABC$的形状.
答案：【思路分析】(1)先配方，再利用平方差公式进行分解因式；(2)先配方，再利用平方的非负性进行求解；(3)先配方，再利用平方的非负性和非负数和为零的条件求出$a$，$b$，$c$的值，最后利用勾股定理进行判断.
【答案】(1)原式$=m^{2}-2m + 1 - 4=(m - 1)^{2}-2^{2}=(m + 1)(m - 3)$.
(2)原式$=a^{2}-2a + 1 + b^{2}+4b + 4 + 3=(a - 1)^{2}+(b + 2)^{2}+3$. 又$(a - 1)^{2}\geqslant0$，$(b + 2)^{2}\geqslant0$，所以当$a = 1$，$b = - 2$时，$a^{2}+b^{2}-2a + 4b + 8$取最小值，且最小值为$3$.
(3)因为$a^{2}+b^{2}-8a - 6b + c^{2}+18 = 10c - 32$，所以$a^{2}-8a + 16 + b^{2}-6b + 9 + c^{2}-10c + 25 = 0$，即$(a - 4)^{2}+(b - 3)^{2}+(c - 5)^{2}=0$. 又$(a - 4)^{2}\geqslant0$，$(b - 3)^{2}\geqslant0$，$(c - 5)^{2}\geqslant0$，所以$a - 4 = 0$，$b - 3 = 0$，$c - 5 = 0$，解得$a = 4$，$b = 3$，$c = 5$. 所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即$\triangle ABC$是直角三角形.
【变式 3】
(1)用配方法及平方差公式把多项式$x^{2}-7x + 12$进行分解因式；
(2)若$y = - x^{2}+2x - 3$，则当$x$为多少时，$y$取最值，且最值为多少？
(3)求证：不论$x$，$y$取何值，多项式$x^{2}+y^{2}-4x + 2y + 6$的值总为正数.
答案：(1) 原式$=x^{2} - 7x + (\frac{7}{2})^{2} + 12 - (\frac{7}{2})^{2}=(x - \frac{7}{2})^{2} - \frac{1}{4}=(x - \frac{7}{2} + \frac{1}{2})(x - \frac{7}{2} - \frac{1}{2})=(x - 3)(x - 4)$．
(2) 因为$y = - x^{2} + 2x - 3 = - x^{2} + 2x - 1 - 2= - (x - 1)^{2} - 2$，且$- (x - 1)^{2} \leq 0$，所以$y = - (x - 1)^{2} - 2 \leq - 2$，即当$x = 1$时，$y$取最大值，且最大值为$- 2$．
(3) 因为$x^{2} + y^{2} - 4x + 2y + 6 = x^{2} - 4x + 4 + y^{2} +2y + 1 + 1 = (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 1$，且$(x - 2)^{2} \geq 0$，$(y + 1)^{2} \geq 0$，所以$x^{2} + y^{2} - 4x + 2y + 6 \geq 1$，即不论$x$，$y$取何值，多项式$x^{2} + y^{2} - 4x + 2y + 6$的值总为正数．
