【变式 2】
如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，且 AC⊥BD，AC = BD，S₄₍四边形 ABCD₎ = 8 cm²，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，求四边形 EFGH 的周长。
答案：【变式2】因为 $AC ⊥ BD$, $AC = BD$, $S_{四边形ABCD} = 8 \mathrm{cm}^2$, 所以 $S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}AC · OB + \frac{1}{2}AC · OD = \frac{1}{2}AC · BD = 8$. 所以 $AC = BD = 4 \mathrm{cm}$. 又 $E, F, G, H$ 分别是 $AB, BC, CD, DA$ 的中点, 所以 $EF = GH = \frac{1}{2}AC = 2 \mathrm{cm}$, $EH = \frac{1}{2}BD = 2 \mathrm{cm}$, $EF // AC$, $GH // AC$, $EH // BD$. 所以 $EF = GH = EH$, $EF // GH$, $EF ⊥ EH$, 即四边形 $EFGH$ 是正方形. 所以四边形 $EFGH$ 的周长为 $4EF = 8 \mathrm{cm}$.
解析：
证明：因为 $AC ⊥ BD$，$AC = BD$，$S_{四边形ABCD} = 8 \, \mathrm{cm}^2$，
所以 $S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}AC · OB + \frac{1}{2}AC · OD = \frac{1}{2}AC · BD = 8$。
因为 $AC = BD$，设 $AC = BD = x$，则 $\frac{1}{2}x^2 = 8$，解得 $x = 4$，即 $AC = BD = 4 \, \mathrm{cm}$。
因为 $E, F, G, H$ 分别是 $AB, BC, CD, DA$ 的中点，
所以 $EF = \frac{1}{2}AC = 2 \, \mathrm{cm}$，$GH = \frac{1}{2}AC = 2 \, \mathrm{cm}$，$EH = \frac{1}{2}BD = 2 \, \mathrm{cm}$，$FG = \frac{1}{2}BD = 2 \, \mathrm{cm}$。
又因为 $EF // AC$，$EH // BD$，且 $AC ⊥ BD$，所以 $EF ⊥ EH$。
因此，四边形 $EFGH$ 是正方形，其周长为 $4 × EF = 4 × 2 = 8 \, \mathrm{cm}$。
答：四边形 $EFGH$ 的周长为 $8 \, \mathrm{cm}$。
典例 3 新素养
运算能力
如图，在锐角三角形 ABC 中，AB = 17，AC = 25，将边 AC 沿 BC 方向向右平移 10 个单位长度，得到一个梯形 ABDE。若边 AC 平移扫过的图形面积为 150，则梯形 ABDE 的面积为(
B
)
A.240
B.360
C.480
D.720
答案：【思路分析】过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，过点 E 作 EF⊥BD 于点 F，则∠AHB = ∠AHC = 90°。由题意，得 AE//BD，四边形 ACDE 为平行四边形，且 S₍□ACDE₎ = 150，CD = AE = 10，所以 AH = EF，CD·EF = 150，即 AH = EF = 15。在 Rt△ABH 和 Rt△ACH 中，AB = 17，AC = 25，由勾股定理，得 BH = $\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}$ = 8，CH = $\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}$ = 20，则 BD = BH + CH + CD = 38。所以 S₍梯形 ABDE₎ = $\frac{1}{2}$(AE + BD)·AH = 360。
【答案】B
【变式 3】亮点原创
如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AD = 6，BC = 20，AB = 13，图中阴影部分的面积为 120，则 CD 的长为
15
。
答案：【变式3】15 解析：过 $A, D$ 两点分别作 $AE ⊥ BC$, $DF ⊥ BC$, 垂足分别为 $E, F$. 因为 $AD // BC$, 所以 $AE // DF$, $AE = DF$. 所以四边形 $AEFD$ 是平行四边形, 即 $AD = EF$. 又题图中阴影部分的面积为 120, $BC = 20$, 所以 $\frac{1}{2}BC · AE = 120$, 即 $AE = 12$. 所以 $DF = 12$. 在 $Rt \triangle ABE$ 中, $AB = 13$, 由勾股定理, 得 $BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = 5$. 又 $AD = 6$, 所以 $EF = 6$, 即 $CF = BC - BE - EF = 9$. 在 $Rt \triangle CDF$ 中, 由勾股定理, 得 $CD = \sqrt{CF^2 + DF^2} = 15$.
解析：
解：过$A$，$D$两点分别作$AE ⊥ BC$，$DF ⊥ BC$，垂足分别为$E$，$F$。
因为$AD // BC$，所以$AE // DF$，$AE = DF$，四边形$AEFD$是平行四边形，故$AD = EF = 6$。
阴影部分面积为$120$，$BC = 20$，则$\frac{1}{2} × BC × AE = 120$，即$\frac{1}{2} × 20 × AE = 120$，解得$AE = 12$，所以$DF = 12$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AB = 13$，由勾股定理得$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$。
$CF = BC - BE - EF = 20 - 5 - 6 = 9$。
在$Rt\triangle CDF$中，由勾股定理得$CD = \sqrt{CF^2 + DF^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$。
15
