1. 在$\sqrt{16x^{3}}$，$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，$-\sqrt{0.5}$，$\sqrt{\dfrac{a}{x}}$，$\sqrt{25}$中，最简二次根式的个数是(
A
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1.A
解析：
$\sqrt{16x^{3}}=4x\sqrt{x}$，不是最简二次根式；
$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，是最简二次根式；
$-\sqrt{0.5}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式；
$\sqrt{\dfrac{a}{x}}=\dfrac{\sqrt{ax}}{x}$，不是最简二次根式；
$\sqrt{25}=5$，不是最简二次根式。
最简二次根式的个数是1。
A
2. 已知数列$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$，$\sqrt{11}$，$\sqrt{15}······$则$3\sqrt{11}$是(
D
)
A.第 19 项
B.第 23 项
C.第 24 项
D.第 25 项
答案：2.D
解析：
观察数列$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$，$\sqrt{11}$，$\sqrt{15}···$，根号内的数依次为3，7，11，15$···$。
该数列根号内的数构成首项$a_1=3$，公差$d=4$的等差数列，其通项公式为$a_n = a_1 + (n - 1)d = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1$。
$3\sqrt{11} = \sqrt{9 × 11} = \sqrt{99}$，令$4n - 1 = 99$，解得$n = 25$。
D
3. 已知$m$，$n$是两个连续的自然数，且$m ＜ n$。若$q = mn$，$p = \sqrt{q + n} + \sqrt{q - m}$，则下列关于$p$的表述正确的为(
B
)
A.总是偶数
B.总是奇数
C.总是无理数
D.无法确定
答案：3.B
解析：
因为$m$，$n$是两个连续的自然数，且$m ＜ n$，所以$n = m + 1$。
$q=mn=m(m + 1)=m^{2}+m$。
$q + n=m^{2}+m+(m + 1)=m^{2}+2m + 1=(m + 1)^{2}$，$\sqrt{q + n}=\sqrt{(m + 1)^{2}}=m + 1$。
$q - m=m^{2}+m - m=m^{2}$，$\sqrt{q - m}=\sqrt{m^{2}}=m$。
$p=\sqrt{q + n}+\sqrt{q - m}=(m + 1)+m=2m + 1$，$2m + 1$是奇数。
B
4. 下列各式中，与$\sqrt{10}$是同类二次根式的为(
D
)
A.$\sqrt{20}$
B.$\sqrt{60}$
C.$\sqrt{80}$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{5}}$
答案：4.D
解析：
A. $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
B. $\sqrt{60}=2\sqrt{15}$
C. $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
D. $\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
与$\sqrt{10}$是同类二次根式的为D。
5. 等式$\sqrt{\dfrac{a}{a - 5}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 5}}$成立的条件是(
C
)
A.$a \neq 5$
B.$a \geqslant 0$且$a \neq 5$
C.$a ＞ 5$
D.$a \geqslant 5$
答案：5.C
解析：
要使等式$\sqrt{\dfrac{a}{a - 5}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 5}}$成立，需满足：
1. 分子根号下非负：$a \geq 0$；
2. 分母根号下为正：$a - 5 ＞ 0$，即$a ＞ 5$；
3. 原式左边分母非零：$a - 5 \neq 0$，即$a \neq 5$。
综合得$a ＞ 5$。
C
6. 已知$7$，$12$，$m$是某三角形的三边长，则$\sqrt{(5 - m)^{2}} + \sqrt{(m - 19)^{2}}$等于(
D
)
A.$2m - 24$
B.$24 - 2m$
C.24
D.14
答案：6.D
解析：
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
对于三边长$7$，$12$，$m$，有：
$12 - 7 ＜ m ＜ 12 + 7$，即$5 ＜ m ＜ 19$。
则$5 - m ＜ 0$，$m - 19 ＜ 0$。
$\sqrt{(5 - m)^{2}} + \sqrt{(m - 19)^{2}} = |5 - m| + |m - 19| = (m - 5) + (19 - m) = 14$。
D
7. (2025·江苏连云港模拟)若$x$为实数，在“$(\sqrt{3} + 1)□ x$”的“$□$”中添上一种运算符号(在“$+$”“$-$”“$×$”“$÷$”中选择)后，其运算结果为有理数，则$x$不可能是(
C
)
A.$\sqrt{3} + 1$
B.$\sqrt{3} - 1$
C.$2\sqrt{3}$
D.$1 - \sqrt{3}$
答案：7.C
解析：
A. $(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}+1)=0$，0是有理数；
B. $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2=3 - 1=2$，2是有理数；
C. 若添加“+”：$(\sqrt{3}+1)+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}+1$，是无理数；
若添加“-”：$(\sqrt{3}+1)-2\sqrt{3}=-\sqrt{3}+1$，是无理数；
若添加“×”：$(\sqrt{3}+1)×2\sqrt{3}=2×3 + 2\sqrt{3}=6 + 2\sqrt{3}$，是无理数；
若添加“÷”：$(\sqrt{3}+1)÷2\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{3}}{2×3}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$，是无理数；
D. $(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})=2$，2是有理数。
综上，$x$不可能是$2\sqrt{3}$，答案选C。
8. (2024·台湾)将$\dfrac{9}{4 - \sqrt{7}}$化简为$a + b\sqrt{7}$的形式，其中$a$，$b$均为整数，则$a + b$的值为(
A
)
A.5
B.3
C.$-9$
D.$-15$
答案：8.A
解析：
$\begin{aligned}\frac{9}{4 - \sqrt{7}}&=\frac{9(4 + \sqrt{7})}{(4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7})}\\&=\frac{9(4 + \sqrt{7})}{16 - 7}\\&=\frac{9(4 + \sqrt{7})}{9}\\&=4 + \sqrt{7}\end{aligned}$
$a = 4$，$b = 1$，$a + b = 5$
A
9. 设$6 - \sqrt{10}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$(2a + \sqrt{10})b$的值是(
A
)
A.6
B.$2\sqrt{10}$
C.12
D.$9\sqrt{10}$
答案：9.A 解析：因为9＜10＜16，所以3＜√10＜4，即2＜6 - √10＜3.所以a = 2，b = 4 - √10.则(2a + √10)·b = (4 + √10)(4 - √10)=6.
10. 若$a$和$b$都是正整数且$a ＜ b$，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$是可以合并的二次根式，则下列结论正确的个数为(
D
)
① 只存在一组$a$和$b$使得$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{18}$；② 只存在两组$a$和$b$使得$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{75}$；③ 不存在$a$和$b$使得$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{260}$；④ 若只存在三组$a$和$b$使得$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c}$，则$\dfrac{c}{a}$的最大值为 49 或 64。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：10.D 解析：由题意，得√a和√b是同类二次根式，a，b为正整数且a＜b.对于①，因为√18 = 3√2，所以只有当√a = √2，√b = 2√2时满足√a + √b = √18，即a = 2，b = 8.所以只存在一组a和b使得√a + √b = √18.故①正确；对于②，因为√75 = 5√3，所以当√a = √3，√b = 4√3或√a = 2√3，√b = 3√3时满足√a + √b = √75，即a = 3，b = 48或a = 12，b = 27.所以只存在两组a和b使得√a + √b = √75.故②正确；对于③，因为√260 = 2√65，所以不存在a和b使得√a + √b = √260.故③正确；对于④，设√a = x√m，√b = y√m，√c = z√m，x，y，z，m均为正整数，且√m与√a，√b，√c均为同类二次根式.所以当只存在三组a和b使得√a + √b = √c时，有以下情况：√m + 6√m = 7√m，2√m + 5√m = 7√m，3√m + 4√m = 7√m或√m + 7√m = 8√m，2√m + 6√m = 8√m，3√m + 5√m = 8√m.所以c/a的最大值为(7√m)²/(√m)² = 49或(8√m)²/(√m)² = 64.故④正确.综上，结论正确的个数为4.
