8. 如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 $8$ 的正方形，点 $E$ 在边 $CD$ 上，$DE = 2$。过点 $E$ 作 $EF// BC$，分别交 $AC$，$AB$ 于 $G$，$F$ 两点，$M$，$N$ 分别是 $AG$，$BE$ 的中点，则 $MN$ 的长为
5
。
答案：8.5
易错警示
解决这类问题的关键是创造一个直角三角形，并通过直角三角形斜边中线的性质求解。
9. 新趋势
推导探究 如图 ①，在 $Rt\triangle AEB$ 中，$\angle AEB = 90^{\circ}$，以斜边 $AB$ 为边向上作正方形 $ABCD$，且正方形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$，连接 $OE$。
(1) 求证：$OE$ 平分 $\angle AEB$；
(2) 试猜想线段 $OE$ 与 $EB$，$EA$ 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3) 如图 ②，过点 $C$ 作 $CF⊥ EB$，交 $EB$ 的延长线于点 $F$，过点 $D$ 作 $GH// EF$，分别交 $EA$ 的延长线和 $FC$ 的延长线于 $H$，$G$ 两点。求证：四边形 $EFGH$ 为正方形。
答案：9.(1)如图，延长EA至点F，使AF=BE，连接OF.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC=∠BAD=90°，AC⊥BD，∠ABO=∠BAO=45°，OB=OA.所以∠AOB=90°.又∠AEB=90°，所以∠AEB+∠AOB=180°.所以∠OBE+∠OAE=360°−(∠AEB+∠AOB)=180°.又∠OAE+∠OAF=180°，所以∠OBE=∠OAF.所以△OBE≌△OAF(SAS).所以OE=OF，∠BOE=∠AOF.因为∠BOE+∠AOE=90°，所以∠AOF+∠AOE=90°，即∠EOF=90°.所以△EOF是等腰直角三角形，即∠OEF=∠OFE=45°.所以∠OEB=∠AEB−∠OEF=45°，即∠OEB=∠OEA.所以OE平分∠AEB.
(2)EA+EB=$\sqrt{2}$OE.证明如下:由(1)，得BE=AF，OE=OF，△EOF是等腰直角三角形，所以由勾股定理，得OE²+OF²=EF²，即2OE²=(EA+EB)².所以EA+EB=$\sqrt{2}$OE.
(3)因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AB=AD.因为GH//EF，所以∠AEB+∠H=180°.又∠AEB=90°，所以∠H=180°−∠AEB=90°，即∠AEB=∠H=∠BAD=90°.所以∠EAB+∠DAH=180°−∠BAD=90°，∠EAB+∠ABE=90°，即∠ABE=∠DAH.所以△ABE≌△DAH(AAS).所以AE=DH，EB=HA.同理，得△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，所以AE=BF=CG=DH，EB=FC=GD=HA，所以CG+FC=BF+EB=AE+HA=DH+GD，即FG=EF=EH=GH.所以四边形EFGH为正方形.
10. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 12$，$E$ 为边 $BC$ 上一点，$CE = 7$，$F$ 为对角线 $BD$ 上一动点(不与 $B$，$D$ 两点重合)，过点 $F$ 分别作 $FM⊥ BC$ 于点 $M$，$FN⊥ CD$ 于点 $N$，连接 $EF$，$MN$，则 $EF + MN$ 的最小值为
13
。
答案：10.13 解析:连接AE，AF，CF.因为四边形ABCD为正方形，AB=12，CE=7，所以∠ABC=∠BCD=90°，BC=AB=12，∠ABD=∠CBD=45°，即BE=BC−CE=5.因为FN⊥CD，FM⊥BC，所以∠FMC=∠FNC=90°.所以四边形CNFM为矩形.所以CF=MN.又BF=BF，所以△ABF≌△CBF(SAS).所以AF=CF=MN.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=$\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}$=13.所以EF+MN=EF+AF≥AE，即EF+MN≥13.则EF+MN的最小值为13.
解析：
连接AE，AF，CF。
因为四边形ABCD为正方形，$AB=12$，$CE=7$，所以$\angle ABC=\angle BCD=90°$，$BC=AB=12$，$\angle ABD=\angle CBD=45°$，$BE=BC - CE=12 - 7=5$。
因为$FN⊥ CD$，$FM⊥ BC$，所以$\angle FMC=\angle FNC=90°$，则四边形CNFM为矩形，所以$CF=MN$。
在$\triangle ABF$和$\triangle CBF$中，$\{\begin{array}{l}AB=CB\\\angle ABF=\angle CBF\\BF=BF\end{array} $，所以$\triangle ABF\cong\triangle CBF(SAS)$，所以$AF=CF$，则$AF=MN$。
在$Rt\triangle ABE$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2 + BE^2}=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
因为$EF + MN=EF + AF\geq AE$，所以$EF + MN\geq13$，则$EF + MN$的最小值为$13$。
13
11. 新趋势
综合实践 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 上任意取一点 $G$，以 $BG$ 为边向外作正方形 $BEFG$。
特例感知：
(1) 如图 ①，连接 $DF$，$AC$ 相交于点 $P$，小红发现 $P$ 恰为 $DF$ 的中点。针对小红发现的结论，请给出证明；
(2) 如图 ②，小红继续连接 $EG$，并延长与 $DF$ 相交，发现交点恰好也是 $DF$ 的中点 $P$。根据小红发现的结论，请判断 $\triangle APE$ 的形状，并说明理由；
规律探究：
(3) 如图 ③，将正方形 $BEFG$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $\alpha$，连接 $DF$，$P$ 是 $DF$ 的中点，连接 $AP$，$EP$，$AE$，$\triangle APE$ 的形状是否发生改变？请说明理由。
答案：11.(1)连接BD，BF，BP.因为四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，所以AD=AB，∠DAC=∠BAC=∠CBD=∠FBG=45°，即∠DBF=90°.又AP=AP，所以△APD≌△APB(SAS).所以DP=BP，即∠PDB=∠PBD.因为∠PDB+∠PFB=90°，∠PBD+∠PBF=90°，所以∠PBF=∠PFB，即PB=PF.所以PD=PF，即P恰为DF的中点.
(2)△APE是等腰直角三角形.理由如下:因为四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，所以∠CAE=∠PEA=45°.所以AP=EP，∠APE=90°.所以△APE是等腰直角三角形.
(3)△APE的形状不改变.理由如下:延长EP至点M，使MP=EP，连接MA，MD.因为四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，所以AB=AD，AD//BC，∠BAD=∠ABC=∠EBG=90°，EB=EF，BG//EF.因为P为DF的中点，所以PD=PF.因为∠DPM=∠FPE，所以△MPD≌△EPF(SAS).所以MD=EF，∠DMP=∠FEP.所以EB=MD，DM//EF，即BG//DM.设DF交BC于点H，交BG于点N，则∠MDN=∠DNB.因为AD//BC，所以∠ADN=∠BHN.因为∠BHN+∠BNH+∠HBN=180°，所以∠ADM=∠ADN+∠MDN=∠BHN+∠BNH=180°−∠HBN.因为∠ABE=360°−∠ABC−∠EBG−∠HBN=180°−∠HBN，所以∠ADM=∠ABE.所以△ADM≌△ABE(SAS).所以AM=AE，∠DAM=∠BAE.所以AP⊥ME，即∠APE=90°.因为∠DAM+∠MAB=90°，所以∠BAE+∠MAB=90°，即∠MAE=90°.所以∠MAP=∠PAE=45°，即∠PEA=90°−∠PAE=45°.所以∠PAE=∠PEA.所以AP=EP，即△APE是等腰直角三角形.
