1. 观察下列各式：$\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\dfrac{1}{5}}=4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$……根据你发现的规律，若式子$\sqrt{a+\dfrac{1}{b}}=8\sqrt{\dfrac{1}{b}}$($a$，$b$为正整数)符合以上规律，则$\sqrt{a+b}$的值为(
B
)
A.2
B.4
C.6
D.8
答案：1. B
解析：
观察规律：$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$（$n$为正整数）。
对比$\sqrt{a+\dfrac{1}{b}}=8\sqrt{\dfrac{1}{b}}$，得$n+1=8$，则$n=7$。
所以$a=n=7$，$b=n+2=9$。
$\sqrt{a+b}=\sqrt{7+9}=\sqrt{16}=4$。
答案：B
2. 如图，$\triangle ABC$是边长为1的等边三角形，分别取$AC$，$BC$的中点$D$，$E$，连接$DE$，作$EF// AC$得到四边形$EDAF$，它的周长记作$C_1$；分别取$EF$，$BE$的中点$D_1$，$E_1$，连接$D_1E_1$，作$E_1F_1// EF$，得到四边形$E_1D_1FF_1$，它的周长记作$C_2$……照此规律作下去，则$C_{2025}$的值为(
C
)
A.$\dfrac{1}{2^{2021}}$
B.$\dfrac{1}{2^{2022}}$
C.$\dfrac{1}{2^{2023}}$
D.$\dfrac{1}{2^{2024}}$
答案：2. C
解析：
证明：
$\triangle ABC$是边长为1的等边三角形，$D$，$E$分别为$AC$，$BC$中点，
$\therefore DE // AB$，$DE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}$，$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}$，
$\because EF // AC$，$\therefore$四边形$EDAF$是平行四边形，
$\therefore C_1 = 2(DE + AD) = 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 2 = \frac{2}{2^0}$；
$D_1$，$E_1$分别为$EF$，$BE$中点，$EF = AD = \frac{1}{2}$，$BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}$，
$\therefore D_1E_1 // BF$，$D_1E_1 = \frac{1}{2}BF$，$E_1F_1 // EF$，
$\because EF = \frac{1}{2}$，$BF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}$，$\therefore D_1E_1 = \frac{1}{4}$，$FF_1 = D_1E_1 = \frac{1}{4}$，
四边形$E_1D_1FF_1$是平行四边形，
$\therefore C_2 = 2(D_1E_1 + FF_1) = 2(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 1 = \frac{2}{2^1}$；
同理可得$C_3 = \frac{1}{2} = \frac{2}{2^2}$，$C_4 = \frac{1}{4} = \frac{2}{2^3}$，...，
规律：$C_n = \frac{2}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^{n-2}}$，
当$n = 2025$时，$C_{2025} = \frac{1}{2^{2025-2}} = \frac{1}{2^{2023}}$。
$\frac{1}{2^{2023}}$
3. 亮点原创·观察下列各式：$\dfrac{8}{15}=\dfrac{3+5}{3×5}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}$，$\dfrac{12}{35}=\dfrac{5+7}{5×7}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}$，$\dfrac{14}{48}=\dfrac{6+8}{6×8}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}$……根据你发现的规律化简：$\dfrac{2a-b-c}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{2b-c-a}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{2c-a-b}{(c-a)(c-b)}=$
0
。
答案：3. 0
解析：
$\dfrac{2a - b - c}{(a - b)(a - c)} = \dfrac{(a - b) + (a - c)}{(a - b)(a - c)} = \dfrac{1}{a - c} + \dfrac{1}{a - b}$，
$\dfrac{2b - c - a}{(b - c)(b - a)} = \dfrac{(b - c) + (b - a)}{(b - c)(b - a)} = \dfrac{1}{b - a} + \dfrac{1}{b - c}$，
$\dfrac{2c - a - b}{(c - a)(c - b)} = \dfrac{(c - a) + (c - b)}{(c - a)(c - b)} = \dfrac{1}{c - b} + \dfrac{1}{c - a}$，
原式$=(\dfrac{1}{a - c} + \dfrac{1}{a - b}) + (\dfrac{1}{b - a} + \dfrac{1}{b - c}) + (\dfrac{1}{c - b} + \dfrac{1}{c - a})$
$=\dfrac{1}{a - c} + \dfrac{1}{a - b} - \dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} - \dfrac{1}{b - c} - \dfrac{1}{a - c} = 0$
0
4. 阅读理解：下列一组方程：①$x+\dfrac{2}{x}=3$，②$x+\dfrac{6}{x}=5$，③$x+\dfrac{12}{x}=7$……小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的求解过程如下：
由①，得$x+\dfrac{1×2}{x}=1+2$，解得$x=1$或$x=2$；
由②，得$x+\dfrac{2×3}{x}=2+3$，解得$x=2$或$x=3$；
由③，得$x+\dfrac{3×4}{x}=3+4$，解得$x=3$或$x=4$。
（1）问题解决：请写出第四个方程；
（2）规律探究：若$n$为正整数，请写出第$n$个方程及其方程的解；
（3）变式拓展：若$n$为正整数，关于$x$的方程$x+\dfrac{n^2+n}{x+2}=2n-1$的一个解是$x=10$，求$n$的值。
答案：4. (1)第四个方程为$x+\frac{20}{x}=9.$
(2)第n个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1,$方程的解为x=n或x=n+1.
(3)将原方程变形为$(x+2)+\frac{n(n+1)}{x+2}=n+(n+1)，$所以x+2=n或x+2=n+1.所以方程的解是x=n-2或x=n-1.又原方程的一个解为x=10，所以当n-2=10时，n=12;当n-1=10时，n=11.所以n的值是11或12.
5. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$。善于思考的小明进行了以下探索：设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$(其中$a$，$b$，$m$，$n$均为整数)，则$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$，所以$a=m^2+2n^2$，$b=2mn$。这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解答下列问题：
(1)已知$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数，且$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，则用含$m$，$n$的式子分别表示$a$，$b$，得$a=$
$m^{2}+3n^{2}$
，$b=$
2mn
；
(2)若$a+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值；
(3)化简：$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$。
答案：$5. (1)m^{2}+3n^{2} 2mn$
(2)由(1)，得$m^{2}+3n^{2}=a,2mn=4,$所以mn=2.
因为m,n均为正整数，所以$\begin{cases}m=1,\\n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2,\\n=1.\end{cases}$
讨论如下：①当$\begin{cases}m=1,\\n=2\end{cases}$时，$a=1^{2}+3×2^{2}=13;$
②当$\begin{cases}m=2,\\n=1\end{cases}$时，$a=2^{2}+3×1^{2}=7.$综上，a的值为13或7.
$(3)\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{1+2\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{5})^{2}}=1+\sqrt{5}.$
