画画·算算
早期数学家们在解决实际问题时逐渐发现了二次根式的存在. 我们今天说的二次根式, 最早是由古埃及的数学家们发现的. 他们在解决一些实际问题的时候, 像是测量土地或者建造金字塔,发现了一个神奇的东西——平方根. 中世纪的数学研究中也能看到二次根式的影子. 文艺复兴时期, 二次根式的研究得到进一步推进. 随着数学理论的不断完善, 对二次根式的理解逐渐深入.
【问题背景】
在$\triangle ABC$中,$AB$,$BC$,$AC$三边的长分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{13}$, 求此三角形的面积. 小辉同学在解答这道题时, 先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1), 再在网格中画出格点$\triangle ABC$(即$\triangle ABC$三个顶点都在小正方形的顶点处), 如图①所示. 这样不需求$\triangle ABC$的高, 借用网格就能计算出它的面积.
(1)$\triangle ABC$的面积为
$\frac{7}{2}$
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【思维拓展】
(2)我们把上述求$\triangle ABC$面积的方法叫作构图法. 如果$\triangle DEF$三边的长分别为$\sqrt{5}a$,$\sqrt{8}a$,$\sqrt{17}a$($a＞0$), 请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为$a$)画出相应的$\triangle DEF$, 并求出它的面积;
【探索创新】
(3)若$\triangle OPQ$三边的长分别为$\sqrt{m^{2}+16n^{2}}$,$\sqrt{9m^{2}+4n^{2}}$,$\sqrt{16m^{2}+4n^{2}}$($m＞0$,$n＞0$, 且$m\neq n$), 试运用构图法画出示意图, 并求出该三角形的面积.
答案：(1)$\frac{7}{2}$ 解析:由题图①,得$S_{\triangle ABC}=3 × 3-\frac{1}{2} × 1 × 2-\frac{1}{2} × 1 × 3-\frac{1}{2} × 2 × 3=\frac{7}{2}$.
(2)因为$\sqrt{5}a=\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}$,$\sqrt{8}a=\sqrt{(2a)^{2}+(2a)^{2}}$,$\sqrt{17}a=\sqrt{a^{2}+(4a)^{2}}$,所以在边长为a的小正方形组成的网格中,$\triangle DEF$如图①所示:
同(1),得$S_{\triangle DEF}=2a × 4a-\frac{1}{2} × 2a × 2a-\frac{1}{2} × 2a × a-\frac{1}{2} × 4a × a=3a^{2}$.
(3)因为$\sqrt{m^{2}+16n^{2}}=\sqrt{m^{2}+(4n)^{2}}$,$\sqrt{9m^{2}+4n^{2}}=\sqrt{(3m)^{2}+(2n)^{2}}$,$\sqrt{16m^{2}+4n^{2}}=\sqrt{(4m)^{2}+(2n)^{2}}$,所以在长为m，宽为n的小矩形组成的网格中,$\triangle OPQ$如图②所示:
同(1),得$S_{\triangle OPQ}=4m × 4n-\frac{1}{2} × m × 4n-\frac{1}{2} × 3m × 2n-\frac{1}{2} × 4m × 2n=7mn$.
