1. 已知 $ x $ 是实数，且 $ (x - 2)(x - 4) · \sqrt{3 - x} = 0 $，则 $ x^{2} + x^{-2} $ 的值是(
C
)
A.$ \dfrac{82}{9} $
B.$ \dfrac{257}{16} $
C.$ \dfrac{17}{4} $ 或 $ \dfrac{82}{9} $
D.$ \dfrac{82}{9} $ 或 $ \dfrac{257}{16} $ 或 $ \dfrac{17}{4} $
答案：1. C
解析：
要使$(x - 2)(x - 4) · \sqrt{3 - x} = 0$成立，则需满足：
1. $x - 2 = 0$，解得$x = 2$，此时$\sqrt{3 - 2} = 1$有意义；
2. $x - 4 = 0$，解得$x = 4$，此时$\sqrt{3 - 4}$无意义，舍去；
3. $\sqrt{3 - x} = 0$，解得$x = 3$，此时$(3 - 2)(3 - 4) = -1$有意义。
当$x = 2$时，$x^2 + x^{-2} = 2^2 + 2^{-2} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$；
当$x = 3$时，$x^2 + x^{-2} = 3^2 + 3^{-2} = 9 + \frac{1}{9} = \frac{82}{9}$。
综上，$x^2 + x^{-2}$的值是$\frac{17}{4}$或$\frac{82}{9}$。
C
2. 已知 $ n ＞ 0 $，则化简 $ \sqrt{1 + \dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}} $ 的结果为
$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
。
答案：2. $1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 解析：因为$n＞0$，所以原式$=\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)]^2}}=$
$\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+2n(n+1)+1}{[n(n+1)]^2}}=$
$\sqrt{\frac{[n(n+1)+1]^2}{[n(n+1)]^2}}=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
3. 已知 $ |x - 1013| + (\sqrt{1010 - x})^{2} = 2025 $，$ y = \sqrt{m + 1} + \sqrt{m - 8} + \sqrt{8 - m} $，求 $ xy $ 的值。
答案：3. 由题意，得$\begin{cases}1010-x\geq0,\\m+1\geq0,\\m-8\geq0,\\8-m\geq0,\end{cases}$解得$x\leq1010,m=8$.所以$y=3,|x-1013|+(\sqrt{1010-x})^2=1013-x+1010-x=2023-2x$.又$|x-1013|+(\sqrt{1010-x})^2=2025$，所以$2023-2x=2025$，解得$x=-1$.所以$xy=-3$.
4. 若 $ a = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} $，$ b = 2 + \sqrt{6} - \sqrt{10} $，则 $ \dfrac{a}{b} $ 的值为(
B
)
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{1}{4} $
C.$ \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} $
D.$ \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{10}} $
答案：4. B
解析：
解：$\begin{aligned}a&=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\\&=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}\\&=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}\\&=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5}\\&=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{2\sqrt{6}}\\&=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{2\sqrt{6}} × \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\\&=\frac{\sqrt{18}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{2×6}\\&=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{12}\\&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{4}\\&=\frac{2 + \sqrt{6} - \sqrt{10}}{4}\end{aligned}$
因为$b = 2 + \sqrt{6} - \sqrt{10}$，所以$\frac{a}{b}=\frac{\frac{b}{4}}{b}=\frac{1}{4}$
答案：B
5. 计算：$ \dfrac{\sqrt{21 × 22 × 23 × 24 + 1}}{\sqrt{7 × 8 × 9 + 1}} = $
$\sqrt{505}$
。
答案：5. $\sqrt{505}$
6. 设 $ r \geqslant 4 $，$ a = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r + 1} $，$ b = \dfrac{1}{\sqrt{r}} - \dfrac{1}{\sqrt{r + 1}} $，$ c = \dfrac{1}{r(\sqrt{r} + \sqrt{r + 1})} $，判断 $ a $，$ b $，$ c $ 之间的大小关系。
答案：因为 $ r \geqslant 4 $，所以 $ \sqrt{r} \geqslant 2 $，$ \sqrt{r+1} ＞ 2 $，则 $ \frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{r+1}} ＜ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $。
$ a = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} = \frac{(r+1) - r}{r(r+1)} = \frac{1}{r(r+1)} $，又 $ ( \frac{1}{\sqrt{r}} - \frac{1}{\sqrt{r+1}} ) ( \frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{r+1}} ) = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} = a $，即 $ b ( \frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{r+1}} ) = a $，所以 $ a = b ( \frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{r+1}} ) $。因为 $ \frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{r+1}} ＜ 1 $，所以 $ a ＜ b $。
$ c = \frac{1}{r(\sqrt{r} + \sqrt{r+1})} = \frac{(r+1) - r}{r(\sqrt{r} + \sqrt{r+1})(\sqrt{r+1} - \sqrt{r})} = \frac{\sqrt{r+1} - \sqrt{r}}{r} $。因为 $ r = \sqrt{r} · \sqrt{r} ＜ \sqrt{r} · \sqrt{r+1} $，所以 $ \frac{\sqrt{r+1} - \sqrt{r}}{r} ＞ \frac{\sqrt{r+1} - \sqrt{r}}{\sqrt{r} · \sqrt{r+1}} $。而 $ b = \frac{1}{\sqrt{r}} - \frac{1}{\sqrt{r+1}} = \frac{\sqrt{r+1} - \sqrt{r}}{\sqrt{r} · \sqrt{r+1}} $，所以 $ c ＞ b $。
综上，$ a ＜ b ＜ c $。
7. 新素养
运算能力 设 $ a $ 为 $ \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} $ 的小数部分，$ b $ 为 $ \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} $ 的小数部分，则 $ \dfrac{2}{b} - \dfrac{1}{a} $ 的值为(
B
)
A.$ \sqrt{6} + \sqrt{2} - 1 $
B.$ \sqrt{6} - \sqrt{2} + 1 $
C.$ \sqrt{6} - \sqrt{2} - 1 $
D.$ \sqrt{6} + \sqrt{2} + 1 $
答案：7. B 解析：因为$(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})^2=2$，所以$\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{2}$(负值已舍去)，即$a=\sqrt{2}-1$.同理，得$b=\sqrt{6}-2$.所以$\frac{2}{b}-\frac{1}{a}=\frac{2}{\sqrt{6}-2}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{6}+2-(\sqrt{2}+1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}+1$.
8. 已知 $ x = \dfrac{1}{\sqrt{2026} - \sqrt{2025}} $，则 $ x^{6} - 2\sqrt{2025}x^{5} - x^{4} + x^{3} - 2\sqrt{2026}x^{2} + 2x - \sqrt{2026} $ 的值为
$45$
。
答案：8. $45$ 解析：因为$x=\frac{1}{\sqrt{2026}-\sqrt{2025}}=\sqrt{2026}+\sqrt{2025}$，所以原式$=x^5(x-2\sqrt{2025})-x^4+x^2(x-2\sqrt{2026})+2x-\sqrt{2026}=x^5·(\sqrt{2026}-\sqrt{2025})-x^4+x^2(\sqrt{2025}-\sqrt{2026})+2x-\sqrt{2026}=x^4·(\sqrt{2026}+\sqrt{2025})·(\sqrt{2026}-\sqrt{2025})-x^4+x(\sqrt{2026}+\sqrt{2025})(\sqrt{2025}-\sqrt{2026})+2x-\sqrt{2026}=x-x^4-x+2x-\sqrt{2026}=x-\sqrt{2026}=\sqrt{2025}=45$.
9. 设 $ x = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ··· + \dfrac{1}{\sqrt{100}} $，求证：$ 18 ＜ x ＜ 19 $。
答案：9. 因为$\sqrt{2}＞1,\sqrt{3}＞\sqrt{2},\sqrt{4}＞\sqrt{3},···,\sqrt{101}＞\sqrt{100}$，所以$x=\frac{2}{1+1}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+···+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{100}}＞\frac{2}{1+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+···+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}=\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}=2×(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+···+\sqrt{101}-\sqrt{100})=2(\sqrt{101}-1)$，且$2(\sqrt{101}-1)＞18$，所以$x＞2(\sqrt{101}-1)＞18$，即$x＞18$.同理，得$x=\frac{2}{1+1}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+···+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{100}}＜\frac{2}{1+1}+\frac{2}{\sqrt{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+···+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\frac{2}{1+1}+\frac{2}{\sqrt{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+···+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=2×(\frac{1}{2}+\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+···+\sqrt{100}-\sqrt{99})=2×(\frac{1}{2}+\sqrt{100}-1)=19$，所以$x＜19$.则$18＜x＜19$.
解析：
证明：因为$\sqrt{n+1} ＞ \sqrt{n}$（$n$为正整数），所以$\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n}} ＞ \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$。
则$x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{100}} ＞ 1 + 2[(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + ··· + (\sqrt{101} - \sqrt{100})]$
$= 1 + 2(\sqrt{101} - \sqrt{2})$。
因为$\sqrt{101} ＞ 10$，$\sqrt{2} ＜ 1.5$，所以$2(\sqrt{101} - \sqrt{2}) ＞ 2(10 - 1.5) = 17$，故$x ＞ 1 + 17 = 18$。
又因为$\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n}} ＜ \frac{2}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$（$n \geq 2$）。
则$x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{100}} ＜ 1 + 2[(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + ··· + (\sqrt{100} - \sqrt{99})]$
$= 1 + 2(\sqrt{100} - 1) = 1 + 2(10 - 1) = 19$。
综上，$18 ＜ x ＜ 19$。
