1. 将$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{24}}$分母有理化后的结果为(
D
)
A.$\dfrac{1}{8}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\dfrac{1}{\sqrt{8}}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
答案：1. D
解析：
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{24}}&=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4×6}}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}\\&=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{6}}{2\sqrt{6}×\sqrt{6}}\\&=\frac{\sqrt{18}}{2×6}\\&=\frac{3\sqrt{2}}{12}\\&=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
D
2. 有下列二次根式：$\sqrt{5}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{0.5a}$，$-2\sqrt{b^{2}c}$，$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，其中最简二次根式的个数为(
A
)
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：2. A
解析：
最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
$\sqrt{5}$：被开方数5不含分母，且5不能开得尽方，是最简二次根式。
$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
$\sqrt{0.5a}=\sqrt{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sqrt{2a}}{2}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
$-2\sqrt{b^{2}c}=-2|b|\sqrt{c}$，被开方数含能开得尽方的因式$b^2$，不是最简二次根式。
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$：被开方数$a^2 + b^2$不含分母，且不能开得尽方，是最简二次根式。
综上，最简二次根式有$\sqrt{5}$，$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，共2个。
A
3. 若二次根式$\sqrt{5a + 3}$是最简二次根式，则最小正整数$a$的值为
2
.
答案：3. 2
解析：
要使二次根式$\sqrt{5a + 3}$是最简二次根式，则被开方数$5a + 3$不含能开得尽方的因数或因式。
当$a = 1$时，$5a + 3=5×1 + 3=8$，$\sqrt{8}$不是最简二次根式；
当$a = 2$时，$5a + 3=5×2 + 3=13$，$13$是质数，$\sqrt{13}$是最简二次根式。
所以最小正整数$a$的值为$2$。
$2$
4. 已知化简二次根式$\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x - 1}}$的结果为$\sqrt{x + 1}$，则$x$的取值范围为
$x＞1$
.
答案：4. $x＞1$
解析：
要使二次根式$\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x - 1}}$有意义，则分母$\sqrt{x - 1}$中的被开方数$x - 1 ＞ 0$，即$x ＞ 1$；分子$\sqrt{x^{2}-1}$中的被开方数$x^{2}-1 \geq 0$，即$(x + 1)(x - 1) \geq 0$，解得$x \leq -1$或$x \geq 1$。综合可得$x ＞ 1$。此时$\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x - 1}}=\dfrac{\sqrt{(x + 1)(x - 1)}}{\sqrt{x - 1}}=\sqrt{x + 1}$，符合题意。
$x＞1$
5. （教材P166习题9变式）计算：
（1）$\sqrt{\dfrac{1}{32}}$；
（2）$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{27}}$；
（3）$\sqrt{\dfrac{3b}{8a^{3}}}(a ＞ 0,b \geqslant 0)$；
（4）$\dfrac{\sqrt{72a^{3}b}}{\sqrt{(a - b)^{3}}}(b ＜ a ＜ 0)$.
答案：5. (1) 原式$=\sqrt{\frac{1×2}{32×2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}$.
(2) 原式$=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{3}}{\sqrt{27}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{9}$.
(3) 当$a＞0,b\geq0$时,原式$=\sqrt{\frac{3b·2a}{8a^{3}·2a}}=\frac{\sqrt{6ab}}{4a^{2}}$.
(4) 因为$b＜a＜0$,所以$a-b＞0,ab＞0$.则原式$=\frac{\sqrt{72a^{3}b}·\sqrt{a-b}}{\sqrt{(a-b)^{3}}·\sqrt{a-b}}=\frac{6a\sqrt{2ab(a-b)}}{(a-b)^{2}}$.
6. 若$x -
y ＞ 0$，则化简二次根式$\dfrac{y}{y - x}·\sqrt{\dfrac{(y -
x)^{2}}{y}}$的结果为(
C
)
A.$\sqrt{y}$
B.$\sqrt{-y}$
C.$-\sqrt{y}$
D.$-\sqrt{-y}$
答案：6. C
解析：
由$x - y ＞ 0$，得$y - x ＜ 0$。
因为二次根式$\sqrt{\dfrac{(y - x)^{2}}{y}}$有意义，所以$\dfrac{(y - x)^{2}}{y} \geq 0$。
由于$(y - x)^{2} ＞ 0$，则$y ＞ 0$。
$\dfrac{y}{y - x}·\sqrt{\dfrac{(y - x)^{2}}{y}} = \dfrac{y}{y - x}·\dfrac{|y - x|}{\sqrt{y}}$
因为$y - x ＜ 0$，所以$|y - x| = x - y$，则：
$\dfrac{y}{y - x}·\dfrac{x - y}{\sqrt{y}} = \dfrac{y}{-(x - y)}·\dfrac{x - y}{\sqrt{y}} = -\dfrac{y}{\sqrt{y}} = -\sqrt{y}$
C
7. 已知$2\sqrt{7a + b}$与$\sqrt[b + 3]{6a - b}$都是最简二次根式，且被开方数相同，则$\sqrt{a + b}$的值为(
B
)
A.0
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案：7. B
易错警示
解答这类问题时,要理解题中给出的条件,并能合理运用隐藏条件.
8. 把$(m - 1)\sqrt{\dfrac{1}{1 - m}}$根号外的因式移到根号内，其结果为
$-\sqrt{1-m}$
.
答案：8. $-\sqrt{1-m}$
解析：
要使$(m - 1)\sqrt{\dfrac{1}{1 - m}}$有意义，则$\dfrac{1}{1 - m} ＞ 0$，即$1 - m ＞ 0$，所以$m - 1 ＜ 0$。
$\begin{aligned}(m - 1)\sqrt{\dfrac{1}{1 - m}}&=-(1 - m)\sqrt{\dfrac{1}{1 - m}}\\&=-\sqrt{(1 - m)^2 · \dfrac{1}{1 - m}}\\&=-\sqrt{1 - m}\end{aligned}$
$-\sqrt{1 - m}$
9. 方程$\sqrt{\dfrac{1}{3}}x = \dfrac{\sqrt{
5}×\sqrt{
6}}{\sqrt{12}}$的解为
$x=\frac{\sqrt{30}}{2}$
.
答案：9. $x=\frac{\sqrt{30}}{2}$
解析：
解：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}x = \dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{6}}{\sqrt{12}}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}x = \dfrac{\sqrt{30}}{2\sqrt{3}}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}x = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$
$x = \dfrac{\sqrt{10}}{2}×\dfrac{3}{\sqrt{3}}$
$x = \dfrac{3\sqrt{10}}{2\sqrt{3}}$
$x = \dfrac{3\sqrt{30}}{6}$
$x = \dfrac{\sqrt{30}}{2}$
10. 已知$\sqrt[b - a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$是相同的最简二次根式.
（1）求$a$，$b$的值；
（2）求$\sqrt{b^{3} + a^{2026}}$的值.
答案：10. (1) 因为$\sqrt[b]{3b}$和$\sqrt{2b-a+2}$是相同的最简二次根式,所以$\begin{cases}b-a=2,\\3b=2b-a+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=0,\\b=2.\end{cases}$经检验,符合题意.则$a,b$的值分别为$0,2$.
(2) 由(1),得$a=0,b=2$,所以$\sqrt{b^{3}+a^{2026}}=\sqrt{2^{3}}=2\sqrt{2}$.
11. 当$x = 4$时，代数式$\dfrac{\sqrt{x - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{x^{2} - 4\sqrt{3}x + 12}}-\dfrac{\sqrt{x + 2\sqrt{3}}}{\sqrt{x^{2} + 4\sqrt{3}x + 12}}$的值为(
A
)
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.3
答案：11. A 解析：原式$=\frac{\sqrt{x-2\sqrt{3}}}{\sqrt{(x-2\sqrt{3})^{2}}}·\frac{\sqrt{x+2\sqrt{3}}}{\sqrt{(x+2\sqrt{3})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x-2\sqrt{3}}}·\frac{1}{\sqrt{x+2\sqrt{3}}}$. 当$x=4$时,原式$=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}·\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}·\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}·\frac{\sqrt{3}-1}{2}=1$.
12. 比较大小：$\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$_________$\sqrt{n}-\sqrt{n - 1}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
答案：12. $＜$ 解析：因为$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$,$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$,且$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}＞\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$,所以$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$.
