五、物体的浮与沉
1. (2025·苏州)用柱形水槽、柱形塑料杯(含配重)、质量已知的砝码和水,可制作测量物体质量的装置.使用时,在竖直漂浮的塑料杯中放入待测物体,杯子仍竖直漂浮,根据制作好的标尺便可读出待测物体的质量.制作标尺时,通过在杯中放入砝码进行质量标注(杯子竖直漂浮).如图所示,标注的方式有三种:
①在水槽外壁,用水面高度$h_{1}$的变化标注;
②在塑料杯内壁,用杯子浸入水中的深度$h_{2}$的变化标注;
③在水槽外壁,用杯底所装指针离槽底的高度$h_{3}$的变化标注.
若水槽和塑料杯的底面积分别为$225cm^{2}$和$85cm^{2}$,三种标尺上相同距离的刻线间对应的物体质量变化分别为$\Delta m_{1}$、$\Delta m_{2}$和$\Delta m_{3}$.则(
C
)
A.$\Delta m_{1}＞\Delta m_{2}＞\Delta m_{3}$
B.$\Delta m_{2}＞\Delta m_{1}=\Delta m_{3}$
C.$\Delta m_{1}＞\Delta m_{3}＞\Delta m_{2}$
D.$\Delta m_{3}＞\Delta m_{1}＞\Delta m_{2}$
解析：
解：设塑料杯（含配重）质量为$m_0$，放入质量为$m$的物体后，塑料杯仍漂浮。
① 标注$h_1$（水槽水面高度变化）
由漂浮条件：$\Delta F_浮 = \Delta G = mg$，即$\rho_水 g \Delta V_排 = mg$，$\Delta V_排 = \frac{m}{\rho_水}$。
水槽水面高度变化$\Delta h_1 = \frac{\Delta V_排}{S_槽} = \frac{m}{\rho_水 S_槽}$，则$m = \rho_水 S_槽 \Delta h_1$，$\Delta m_1 = \rho_水 S_槽 \Delta h$。
② 标注$h_2$（塑料杯浸入深度变化）
$\Delta V_排 = S_杯 \Delta h_2$，则$m = \rho_水 S_杯 \Delta h_2$，$\Delta m_2 = \rho_水 S_杯 \Delta h$。
③ 标注$h_3$（指针离槽底高度变化）
指针高度$h_3 = H - h_1$（$H$为水槽初始水深），$\Delta h_3 = -\Delta h_1$，$|\Delta h_3| = \Delta h_1$，故$\Delta m_3 = \Delta m_1$（推导同①）。
已知$S_槽 = 225\,\mathrm{cm}^2$，$S_杯 = 85\,\mathrm{cm}^2$，且$S_槽 ＞ S_杯$，则$\Delta m_1 = \Delta m_3 ＞ \Delta m_2$。
结论：$\Delta m_1＞\Delta m_3＞\Delta m_2$，选C。
