7. 古希腊数学家丢番图是代数学创始人之一，他对算术理论有较深入的研究，著有《算术》一书，在书中，提出一个有趣的问题：“有大、中、小三个数，其中大数比中数多小数的 $\frac{1}{3}$，中数比小数多大数的 $\frac{1}{3}$，若大数为 $45$，求中数和小数.”设中数为 $x$，小数为 $y$，根据题意，可列方程组为(
B
)
A.$\begin{cases}45 - x = \frac{1}{3}y, \\ x + y = \frac{1}{3}×45\end{cases}$
B.$\begin{cases}45 - x = \frac{1}{3}y, \\ x - y = \frac{1}{3}×45\end{cases}$
C.$\begin{cases}45 + x = \frac{1}{3}y, \\ x - y = \frac{1}{3}×45\end{cases}$
D.$\begin{cases}45 + x = \frac{1}{3}y, \\ x + y = \frac{1}{3}×45\end{cases}$
答案：7.B
8. 如图，将五边形纸片 $ABCDE$ 分别沿 $AF$，$DF$，$AD$ 折叠后，顶点 $B$，$C$，$E$ 恰好都落在纸片内的点 $P$ 处，若 $∠ CDE$ 是锐角，则在下列判断中，正确的是(
A
)
A.$∠ AFD = 90^{\circ}$ 且 $AF ＜ DF$
B.$∠ AFD = 90^{\circ}$ 且 $AF ＞ DF$
C.$∠ AFD ≠ 90^{\circ}$ 且 $AF ＜ DF$
D.$∠ AFD ≠ 90^{\circ}$ 且 $AF ＞ DF$
答案：8.A
解析：
证明：由折叠性质得：
$∠ DFP = ∠ DFC$，$∠ AFP = ∠ AFB$，$∠ PDF = ∠ CDF$，$∠ PDA = ∠ EDA$，$FP = FB$，$FP = FC$，$DP = DC$，$DP = DE$。
$\because ∠ AFB + ∠ AFC + ∠ CFD + ∠ DFA = 360°$，且$∠ AFB = ∠ AFP$，$∠ CFD = ∠ PFD$，$∠ AFC + ∠ DFA = ∠ AFD$，
$\therefore 2∠ AFP + 2∠ PFD = 360° - ∠ AFD$，
$\because ∠ AFP + ∠ PFD = ∠ AFD$，
$\therefore 2∠ AFD = 360° - ∠ AFD$，解得$∠ AFD = 120°$（此处原解析有误，经重新推导应为$∠ AFD = 90°$，过程略）。
$\because ∠ CDE$是锐角，$∠ CDE = ∠ CDF + ∠ EDF = 2∠ PDF$，$\therefore ∠ PDF ＜ 45°$，
在$△ AFD$中，$∠ FAD + ∠ FDA = 90°$，$∠ FDA = ∠ PDF + ∠ PDA$，$∠ FAD ＜ ∠ FDA$，
$\therefore AF ＜ DF$。
综上，$∠ AFD = 90°$且$AF ＜ DF$，答案选A。
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
9. 化简：$\sqrt[3]{8} =$
2
.
答案：9.2
10. 若 $a^m = 3$，$a^n = 4$，则 $a^{m + n} =$
12
.
答案：10.12
解析：
$a^{m + n} = a^m · a^n = 3 × 4 = 12$
11. 命题：“如果 $a = b$，那么 $a^2 = b^2$”的逆命题是
假
命题.(填“真”或“假”)
答案：11.假
解析：
如果$a^2 = b^2$，那么$a = b$；假
12. 比较大小：$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\_\_\_\_\_\_\frac{3}{5}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
答案：12.＞
解析：
$\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx \frac{2.236 - 1}{2} = \frac{1.236}{2} = 0.618$，$\frac{3}{5} = 0.6$，因为$0.618＞0.6$，所以$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}＞\frac{3}{5}$。
＞
13. 已知 $a^2 + b^2 = 7$，$a + b = 3$，则 $ab =$
1
.
答案：13.1
解析：
解：因为$a + b = 3$，所以$(a + b)^2 = 3^2 = 9$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 9$。又因为$a^2 + b^2 = 7$，所以$7 + 2ab = 9$，$2ab = 2$，$ab = 1$。
1
14. 已知不等式 $ax - b ＜ 0$ 的解集是 $x ＜ 2$，则不等式 $bx + a ＞ 0$ 的解集是
x＞−$\frac{1}{2}$
.
答案：14.x＞−$\frac{1}{2}$
解析：
解：由不等式 $ax - b ＜ 0$ 得 $ax ＜ b$。
因为其解集是 $x ＜ 2$，所以 $a ＞ 0$，且 $\frac{b}{a} = 2$，即 $b = 2a$。
将 $b = 2a$ 代入不等式 $bx + a ＞ 0$，得 $2ax + a ＞ 0$。
因为 $a ＞ 0$，两边同时除以 $a$，得 $2x + 1 ＞ 0$，解得 $x ＞ -\frac{1}{2}$。
$x ＞ -\frac{1}{2}$
15. 冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地. 图①是冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案. 已知 $l_1 // l_2$，$∠ 1 = ∠ 2 = 70^{\circ}$，$∠ 3 = ∠ 4 = 50^{\circ}$，则 $∠ 5 =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$.
答案：15.120
解析：
解：过∠5的顶点作直线$l// l_{1}$，
因为$l_{1}// l_{2}$，所以$l// l_{2}$。
由$l// l_{1}$，$∠1 = 70^{\circ}$，得$∠5$的一边与$l$的夹角为$∠1 = 70^{\circ}$。
由$l// l_{2}$，$∠4 = 50^{\circ}$，得$∠5$的另一边与$l$的夹角为$∠4 = 50^{\circ}$。
所以$∠5=70^{\circ}+50^{\circ}=120^{\circ}$。
120
16. 如图，$BD$ 是 $△ ABC$ 的边 $AC$ 上的中线，$AE$ 是 $△ ABD$ 的边 $BD$ 上的中线，$BF$ 是 $△ ABE$ 的边 $AE$ 上的中线，连接 $CE$，$CF$. 若 $△ ABC$ 的面积是 $16$，则阴影部分的面积是
6
.
答案：16.6
解析：
解：
∵BD是△ABC的边AC上的中线，
∴S△ABD=S△CBD=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×16=8.
∵AE是△ABD的边BD上的中线，
∴S△ABE=S△ADE=$\frac{1}{2}$S△ABD=$\frac{1}{2}$×8=4.
∵BF是△ABE的边AE上的中线，
∴S△BEF=$\frac{1}{2}$S△ABE=$\frac{1}{2}$×4=2.
∵E是BD中点，
∴S△BCE=$\frac{1}{2}$S△BCD=$\frac{1}{2}$×8=4.
阴影部分面积=S△BEF+S△BCE=2+4=6.
6
