1. (2024·海安期中)下列不等式变形中,一定正确的是 (
D
)
A.若 $ am ＞ bm $, 则 $ a ＞ b $
B.若 $ a ＞ b $, 则 $ am^{2} ＞ bm^{2} $
C.若 $ a ＞ b $, $ m ＞ n $, 则 $ am ＞ bn $
D.若 $ am^{2} ＞ bm^{2} $, 则 $ a ＞ b $
答案：1. D
2. (2024·靖江月考)对于命题“如果 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ} $, 那么 $ ∠ 1 ≠ ∠ 2 $.”能说明它是假命题的反例是 (
A
)
A.$ ∠ 1 = ∠ 2 = 45^{\circ} $
B.$ ∠ 1 = 40^{\circ} $, $ ∠ 2 = 50^{\circ} $
C.$ ∠ 1 = 50^{\circ} $, $ ∠ 2 = 50^{\circ} $
D.$ ∠ 1 = 40^{\circ} $, $ ∠ 2 = 40^{\circ} $
答案：2. A
3. 若多项式 $ 9x^{2} - mx + 4 $ 是一个完全平方式,则 $ m $ 的值为 (
B
)
A.12
B.$ \pm 12 $
C.6
D.$ \pm 6 $
答案：3. B
解析：
因为多项式$9x^{2}-mx + 4$是完全平方式，$9x^{2}=(3x)^{2}$，$4 = 2^{2}$，所以$9x^{2}-mx + 4=(3x\pm2)^{2}$。
$(3x + 2)^{2}=9x^{2}+12x + 4$，则$-m = 12$，$m=-12$；
$(3x - 2)^{2}=9x^{2}-12x + 4$，则$-m=-12$，$m = 12$。
综上，$m=\pm12$。
B
4. 我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足”问题:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三. 问人数、羊价各几何?”译文:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱. 问合伙人数、羊价各是多少? 该问题中的羊价为 (
C
)
A.160钱
B.155钱
C.150钱
D.145钱
答案：4. C
解析：
设合伙人数为$x$人。
根据题意，羊价不变，可列方程：$5x + 45 = 7x + 3$
解方程：$7x - 5x = 45 - 3$
$2x = 42$
$x = 21$
羊价为：$5x + 45 = 5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$（钱）
C
5. (2024·玄武区期中)在探究证明“三角形的内角和是 $ 180^{\circ} $”时,综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线,其中能证明“$ △ ABC $ 的内角和是 $ 180^{\circ} $”的有 (
C
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：5. C
解析：
解：
1. 图1：过点C作EF//AB，得∠ECA=∠A，∠FCB=∠B，
∵∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°，能证明。
2. 图2：延长AC到F，过C作CE//AB，得∠ECD=∠A，∠ECB=∠B，
∵∠ACB+∠ECB+∠ECD=180°，
∴∠ACB+∠B+∠A=180°，能证明。
3. 图3：作CD⊥AB于D，无法通过此辅助线直接得出内角和为180°，不能证明。
4. 图4：过AB上点D作DE//BC，DF//AC，得∠ADE=∠B，∠BDF=∠A，∠EDF=∠C，
∵∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，
∴∠B+∠C+∠A=180°，能证明。
综上，能证明的有3个。
C
二、填空题(每小题5分,共25分)
6. 已知 $ x^{m} = 6 $, $ x^{n} = 3 $, 则 $ x^{2m - n} $ 的值为
12
.
答案：6. 12
解析：
$x^{2m - n} = (x^m)^2 ÷ x^n = 6^2 ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12$
7. (2024·铜山区期中)计算: $ -3m(m^{2} - 6m + 1) = $
$-3m^{3}+18m^{2}-3m$
.
答案：7. $-3m^{3}+18m^{2}-3m$
8. 定义新运算“※”为: $ a※b = a + 3b $, 例如, $ 5※2 = 5 + 3 × 2 = 11 $, 则关于 $ x $ 的不等式 $ x※m ＜ 2 $有且只有一个正整数解时,$ m $ 的取值范围是
$0≤ m＜\frac{1}{3}$
.
答案：8. $0≤ m＜\frac{1}{3}$
解析：
由定义知$x※m = x + 3m$，则不等式为$x + 3m ＜ 2$，解得$x ＜ 2 - 3m$。
因为不等式有且只有一个正整数解，正整数解只能为$1$，所以$1 ＜ 2 - 3m ≤ 2$。
解$1 ＜ 2 - 3m$得：$3m ＜ 1$，即$m ＜ \frac{1}{3}$；
解$2 - 3m ≤ 2$得：$-3m ≤ 0$，即$m ≥ 0$。
综上，$m$的取值范围是$0 ≤ m ＜ \frac{1}{3}$。
9. 如图,两次折叠三角形纸片 $ ABC $, 先使点 $ B $ 与点 $ C $ 重合,折痕为 $ DE $, 展平
纸
片
;再使 $ AC $ 与 $ BC $重合,折痕为 $ CF $, 展平纸片. 若 $ ∠ A = 66^{\circ} $, $ ∠ B = 44^{\circ} $, 则 $ ∠ COE = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $.
答案：9. 125
解析：
证明：在$△ ABC$中，$∠ A=66^{\circ}$，$∠ B=44^{\circ}$，
$∠ ACB=180^{\circ}-∠ A-∠ B=180^{\circ}-66^{\circ}-44^{\circ}=70^{\circ}$。
第一次折叠使点$B$与点$C$重合，折痕为$DE$，
$DE$垂直平分$BC$，$∠ BDE=∠ CDE=90^{\circ}$，$BD=CD$。
第二次折叠使$AC$与$BC$重合，折痕为$CF$，
$CF$平分$∠ ACB$，$∠ ACF=∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ACB=35^{\circ}$。
设$DE$与$CF$交于点$O$，在$△ OCD$中，$∠ ODC=90^{\circ}$，$∠ OCD=35^{\circ}$，
$∠ COD=180^{\circ}-∠ ODC-∠ OCD=180^{\circ}-90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$。
$∠ COE=180^{\circ}-∠ COD=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$。
$125$
