12. (8 分)(2024·鼓楼区期末)一个正方形的边长为 $ a+4 $($ a $ 为常数,$ a＞0 $),记它的面积为 $ S_{1} $.将这个正方形的一组邻边长分别增加 2 和减少 2,得到一个长方形,记该长方形的面积为 $ S_{2} $.
(1)求 $ S_{2} $;(用含 $ a $ 的代数式表示)
(2)小丽说无论 $ a $ 为何值,$ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 的差都不变,你同意她的观点吗? 为什么?
答案：12. 解: (1) 由题意, 得S₂ = (a + 4 + 2)(a + 4 - 2) = (a + 6)(a + 2) = a² + 8a + 12.
(2) 同意小丽的观点. 理由如下:
∵ S₁ - S₂ = (a + 4)² - (a² + 8a + 12) = a² + 8a + 16 - a² - 8a - 12 = 4,
∴ 无论a为何值, S₁与S₂的差都不变.
13. (10 分)(1)解不等式 $ 1-\dfrac{x+6}{2}＜\dfrac{2x+1}{3} $,并把解集在数轴上表示出来;
(2)解不等式组 $ \begin{cases}x+3≥ 2x+1,\\\dfrac{2x-1}{3}＜1+x,\end{cases} $ 并求出它的所有整数解的和.
答案：13. 解: (1) 不等式的两边都乘 6, 得6 - 3(x + 6) ＜ 2(2x + 1),
去括号, 得6 - 3x - 18 ＜ 4x + 2,
移项, 得-3x - 4x ＜ 2 + 18 - 6,
合并同类项, 得-7x ＜ 14, 解得x ＞ -2.
解集在数轴上表示如答图所示.
(2) {x + 3 ≥ 2x + 1, ①
{$\frac{2x - 1}{3}$ ＜ 1 + x, ②
解不等式①, 得x ≤ 2,
解不等式②, 得x ＞ -4,
所以不等式组的解集是-4 ＜ x ≤ 2,
所以它的所有整数解的和是-3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 = -3.
14. (10 分)已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases}x+2y=2m-5,\\x-2y=3-4m.\end{cases} $
(1)求 $ x,y $ 的值;(用含 $ m $ 的代数式表示)
(2)若 $ x＜0 $ 且 $ y≤ 4 $,求 $ m $ 的取值范围.
答案：14. 解: (1) {x + 2y = 2m - 5, ①
{x - 2y = 3 - 4m, ②
① + ②, 得2x = -2m - 2,
解得x = -m - 1.
① - ②, 得4y = 6m - 8, 解得y = $\frac{3m - 4}{2}$.
(2) 由题意, 得 {-m - 1 ＜ 0,
{$\frac{3m - 4}{2}$ ≤ 4,
解得-1 ＜ m ≤ 4.
15. (14 分)(2024·海安期末)在 $ △ ABC $ 中,$ ∠ B+∠ C=145^{\circ} $,点 $ D,E $ 分别在边 $ AB,AC $ 上,将 $ △ ABC $ 沿 $ DE $ 翻折.
(1)如图①,点 $ A $ 的对应点为 $ A' $,若 $ ∠ CEA'=30^{\circ} $,求 $ ∠ A'DB $ 的度数;
(2)如图②,点 $ B,C $ 的对应点分别为 $ B',C' $,若 $ ∠ C'EA=α $,求 $ ∠ BDB' $ 的度数.(用含 $ α $ 的代数式表示)
答案：15. 解: (1)
∵ 在△ABC中,∠B + ∠C = 145°,
∴ ∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 35°.
∵ ∠CEA' = 30°,
∴ ∠AEA' = 180° - ∠CEA' = 150°.
由翻折的性质, 得∠AED = ∠A'ED = $\frac{1}{2}$∠AEA' = 75°,∠ADE = ∠A'DE.
在△ADE中,∠ADE = 180° - (∠A + ∠AED) = 180° - (35° + 75°) = 70°,
∴ ∠ADE = ∠A'DE = 70°,
∴ ∠ADA' = ∠ADE + ∠A'DE = 140°,
∴ ∠A'DB = 180° - ∠ADA' = 180° - 140° = 40°.
(2) 连接B'E, 如答图.
设∠BDB' = β,
∵ ∠C'EA = α,
∴ ∠CEC' = 180° - ∠C'EA = 180° - α.
由翻折的性质, 得∠C'ED = ∠CED = $\frac{1}{2}$∠CEC' = 90° - $\frac{1}{2}$α,∠EDB' = ∠EDB,∠B = ∠C'B'D,∠C = ∠C'.
∵ ∠B + ∠C = 145°,
∴ ∠C'B'D + ∠C' = 145°.
∵ ∠EDB' + ∠EDB + ∠BDB' = 360°,
∴ ∠EDB' = ∠EDB = $\frac{1}{2}$(360° - ∠BDB') = 180° - $\frac{1}{2}$β.
∵ ∠C'B'D + ∠C' + ∠C'ED + ∠EDB' = 360°,
∴ 145° + 90° - $\frac{1}{2}$α + 180° - $\frac{1}{2}$β = 360°,
∴ β = 110° - α,
即∠BDB' = 110° - α.
