1. (2024·淮安)下列计算正确的是 (
A
)
A.$ a · a ^ { 3 } = a ^ { 4 } $
B.$ a ^ { 2 } + a ^ { 3 } = a ^ { 5 } $
C.$ a ^ { 6 } ÷ a = a ^ { 6 } $
D.$ ( a ^ { 3 } ) ^ { 4 } = a ^ { 7 } $
答案：1. A
2. 从下列不等式中选择一个与 $ x + 1 ≥ 2 $ 组成不等式组,如果要使该不等式组的解集为 $ x ≥ 1 $,那么可以选择的不等式是 (
A
)
A.$ x ＞ - 1 $
B.$ x ＞ 2 $
C.$ x ＜ - 1 $
D.$ x ＜ 2 $
答案：2. A
3. (2024·无锡期末)下列命题中,假命题是 (
C
)
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角相等,两直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线平行
答案：3. C
4. 若 $ M = ( x - 1 ) ( x - 5 ) $, $ N = ( x - 2 ) ( x - 4 ) $,则 $ M $ 与 $ N $ 的关系为 (
C
)
A.$ M = N $
B.$ M ＞ N $
C.$ M ＜ N $
D.$ M $ 与 $ N $ 的大小由 $ x $ 的取值而定
答案：4. C
解析：
$M=(x-1)(x-5)=x^{2}-6x+5$，$N=(x-2)(x-4)=x^{2}-6x+8$，$M-N=(x^{2}-6x+5)-(x^{2}-6x+8)=-3＜0$，所以$M＜N$。
C
5. (2024·相城区月考)如图,在 $ △ A B C $ 中, $ ∠ A = ∠ A B C $, $ B H $ 是 $ ∠ A B C $ 的平分线, $ B D $ 和 $ C D $ 是 $ △ A B C $ 两个外角的平分线, $ D $, $ C $, $ H $ 三点在一条直线上,下列结论中:① $ D B ⊥ B H $;② $ ∠ D = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } ∠ A $;③ $ D H // A B $;④ $ ∠ H = \frac { 1 } { 2 } ∠ A $;⑤ $ ∠ C B D = ∠ D $,其中正确的结论有 (
D
)
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案：5. D
解析：
证明：设$∠ A = ∠ ABC = 2α$，则$∠ ACB = 180° - 4α$。
① $BH$平分$∠ ABC$，$∠ ABH = α$；$BD$平分外角$∠ ABE = 180° - 2α$，$∠ ABD = 90° - α$。$∠ DBH = ∠ ABD + ∠ ABH = 90°$，故$DB ⊥ BH$，①正确。
② 外角$∠ FCB = 180° - ∠ ACB = 4α$，$CD$平分$∠ FCB$，$∠ DCB = 2α$。$∠ D = 180° - ∠ DBC - ∠ DCB = 180° - (90° - α) - 2α = 90° - α = 90° - \frac{1}{2}∠ A$，②正确。
③ $∠ HCB = ∠ ACB = 180° - 4α$，$∠ H = 180° - ∠ HBC - ∠ HCB = 180° - α - (180° - 4α) = 3α$。$∠ H = 3α$，$∠ A = 2α$，$∠ H ≠ ∠ A$，故$DH$与$AB$不平行，③错误。
④ 由③知$∠ H = 3α$，$\frac{1}{2}∠ A = α$，$∠ H ≠ \frac{1}{2}∠ A$，④错误。
⑤ $∠ CBD = 90° - α$，$∠ D = 90° - α$，故$∠ CBD = ∠ D$，⑤正确。
综上，正确结论为①②⑤，共3个。
答案：B
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
6. (2024·包头)若一个 $ n $ 边形的内角和是 $ 900 ^ { \circ } $,则 $ n = $
7
.
答案：6. 7
解析：
$(n-2)×180°=900°$，解得$n=7$。
7. (2024·宿豫区期末)若不等式组 $ \{ \begin{array} { l } { x ＜ 2, } \\ { x ＞ a } \end{array} $ 有解,则 $ a $ 的取值范围是 ______ .
答案：7. $ a ＜ 2 $
8. (2024·秦淮区期中)已知 $ 5 ^ { a } = 4 $, $ 5 ^ { b } = 6 $, $ 5 ^ { c } = 9 $,则 $ a $, $ b $, $ c $ 之间满足的等量关系是
$ a + c = 2b $
.
答案：8. $ a + c = 2b $
解析：
因为$5^{a}=4$，$5^{c}=9$，所以$5^{a}×5^{c}=4×9=36$，即$5^{a+c}=36$。
又因为$5^{b}=6$，所以$(5^{b})^{2}=6^{2}=36$，即$5^{2b}=36$。
因此$5^{a+c}=5^{2b}$，所以$a + c = 2b$。
9. (2024·苏州期中)对有理数 $ x $, $ y $ 定义运算: $ x * y = a x + b y $,其中 $ a $, $ b $ 是常数.如果 $ 2 * ( - 1 ) = - 4 $, $ 3 * 2 ＞ 1 $,那么 $ b $ 的取值范围是
$ b ＞ 2 $
.
答案：9. $ b ＞ 2 $
解析：
由题意得，$2*(-1)=2a - b = -4$，则$2a = b - 4$，$a = \frac{b - 4}{2}$。
$3*2 = 3a + 2b$，将$a = \frac{b - 4}{2}$代入得：
$3×\frac{b - 4}{2} + 2b ＞ 1$
$\frac{3(b - 4)}{2} + 2b ＞ 1$
两边同乘2：$3(b - 4) + 4b ＞ 2$
$3b - 12 + 4b ＞ 2$
$7b ＞ 14$
$b ＞ 2$
$b ＞ 2$
10. (2024·邗江区期中)如图, $ ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F $ 的度数为
360
$ ^ { \circ } $.
答案：10. 360
解析：
解：连接AD，设AC与BD交于点O。
在△AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOC，
则∠OAD+∠ODA=∠B+∠C。
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
=∠A+∠D+∠E+∠F+(∠B+∠C)
=∠A+∠D+∠E+∠F+(∠OAD+∠ODA)
=(∠A+∠OAD)+(∠D+∠ODA)+∠E+∠F
=∠FAD+∠EDA+∠E+∠F。
在四边形ADEF中，∠FAD+∠EDA+∠E+∠F=360°，
故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°。
360
三、解答题(共 50 分)
11. (8 分)计算:
(1) $ 2 ^ { 3 } - ( 3 - π ) ^ { 0 } + 2 ^ { - 1 } $;
(2) $ ( a - b ) ( a + 2 b ) - ( a - b ) ^ { 2 } $.
答案：11. 解: (1) 原式 $ = 8 - 1 + \frac{1}{2} = 7\frac{1}{2} $.
(2) 原式 $ = a^{2} + 2ab - ab - 2b^{2} - a^{2} + 2ab - b^{2} = 3ab - 3b^{2} $.
