2026年启东中学作业本七年级数学下册苏科版第170页解析答案

21. （12分）如图，AB//CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧且在直线AB和CD之间，连接PE，PG.
（1）求证：∠EPG=∠AEP+∠PGC；
（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE=110°，∠PGC=$\frac{1}{2}$∠EFC，求∠AEP的度数.

答案：
21. (1)证明：如答图，延长$ EP $交$ CD $于点$ M $。
$ \because AB // CD $，$ \therefore ∠ AEP = ∠ GMP $。
$ \because ∠ EPG $是$ △ PGM $的外角，$ \therefore ∠ EPG = ∠ PMG + ∠ PGC = ∠ AEP + ∠ PGC $。

(2)解：$ \because EG $平分$ ∠ PEF $，$ \therefore ∠ PEG = ∠ FEG $。
设$ ∠ AEP = α $，$ ∠ PGC = β $，则$ ∠ PGE = 110^{\circ} - α $，$ ∠ EFG = 2β $。
$ \because AE // CG $，$ \therefore ∠ AEG + ∠ EGC = 180^{\circ} $。
又$ \because ∠ AEP + ∠ PGE = 110^{\circ} $，$ \therefore ∠ PEG + ∠ PGC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} $，$ \therefore ∠ PEG = 70^{\circ} - β $。
$ \because ∠ CGE $是$ △ EFG $的外角，$ \therefore ∠ FEG = ∠ CGE - ∠ EFG = ∠ PGC + ∠ PGE - ∠ EFG = β + (110^{\circ} - α) - 2β = 110^{\circ} - α - β $，$ \therefore 70^{\circ} - β = 110^{\circ} - α - β $，解得$ α = 40^{\circ} $，$ \therefore ∠ AEP = 40^{\circ} $。

22. （14分）（2024·张家港期末）【感知发现】（1）在学习平行线时，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图①，当AB//CD时，可以得到结论：∠BED=∠B+∠D.那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图①，∠BED=∠B+∠D，求证：AB//CD.请写出证明过程；
（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题.在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图②.已知两直线a，b和直角三角形ABC，且a//b，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°.创新小组的同学发现∠2−∠1=120°，请说明理由；
【实践探究】（3）如图③，AB//CD，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N=∠AGM，∠M=∠N+$\frac{1}{2}$∠FGN，求∠MHG的度数.

答案：
22. (1)证明：过点$ E $作$ ET // AB $，如答图①。

$ \because AB // ET $，$ \therefore ∠ B = ∠ BET $。
$ \because ∠ BED = ∠ B + ∠ D $，$ ∠ BED = ∠ BET + ∠ DET $，$ \therefore ∠ D = ∠ DET $，$ \therefore ET // CD $，$ \therefore AB // CD $。
(2)解：如答图②，由(1)可知，

$ ∠ 1 + ∠ 3 = ∠ B = 60^{\circ} $，又$ ∠ 3 = 180^{\circ} - ∠ 2 $，$ \therefore ∠ 1 + (180^{\circ} - ∠ 2) = 60^{\circ} $，$ \therefore ∠ 2 - ∠ 1 = 120^{\circ} $。
(3)解：如答图③，令$ ∠ AGM = 2α $，$ ∠ CHM = β $，则$ ∠ N = 2α $，

由(1)可得$ ∠ M = 2α + β $。
$ \because $射线$ GH $是$ ∠ BGM $的平分线，$ \therefore ∠ FGM = \dfrac{1}{2} ∠ BGM = \dfrac{1}{2} (180^{\circ} - ∠ AGM) = 90^{\circ} - α $，$ \therefore ∠ AGH = ∠ AGM + ∠ FGM = 2α + 90^{\circ} - α = 90^{\circ} + α $。
$ \because ∠ M = ∠ N + \dfrac{1}{2} ∠ FGN $，$ \therefore 2α + β = 2α + \dfrac{1}{2} ∠ FGN $，$ \therefore ∠ FGN = 2β $。
过点$ H $作$ HT // GN $，则$ ∠ MHT = ∠ N = 2α $，$ ∠ GHT = ∠ FGN = 2β $，$ \therefore ∠ MHG = ∠ MHT + ∠ GHT = 2α + 2β $，$ ∠ CHG = ∠ CHM + ∠ MHG = β + 2α + 2β = 2α + 3β $。
$ \because AB // CD $，$ \therefore ∠ AGH + ∠ CHG = 180^{\circ} $，$ \therefore 90^{\circ} + α + 2α + 3β = 180^{\circ} $，$ \therefore α + β = 30^{\circ} $，$ \therefore ∠ MHG = 2 (α + β) = 60^{\circ} $。