二、填空题(每小题2分，共16分)
9. (2024·鼓楼区月考)把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果……，那么……”的形式是
如果两个数同号，那么这两个数的积是正数
.
答案：9. 如果两个数同号，那么这两个数的积是正数
10. (2024·宿迁)命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是
同位角相等，两直线平行
.
答案：10. 同位角相等，两直线平行
11. 如图，∠B=∠D，要使BE//DF，还需补充一个条件，你认为这个条件应该是
$ ∠ B = ∠ COE $（答案不唯一）
.（填一个条件即可）
答案：11. $ ∠ B = ∠ COE $（答案不唯一）
12. (2024·江宁区月考)如图是五角星ABCDE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
180
°.
答案：12. 180
解析：
解：连接CD，设BD与CE交于点O。
在△BOE和△COD中，∠BOE=∠COD，
所以∠B+∠E=∠OCD+∠ODC。
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
即∠A+∠ACO+∠OCD+∠ADO+∠ODC=180°，
所以∠A+∠C+∠D+∠B+∠E=180°。
故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
180
13. (2024·张家港期中)如果一个三角形的两个内角α与β满足α−β=90°，那么我们称这样的三角形为“差余三角形”.已知△ABC是“差余三角形”，且∠A=110°，则∠B的度数为
$ 20^{\circ} $或 $ 50^{\circ} $
.
答案：13. $ 20^{\circ} $或 $ 50^{\circ} $
解析：
∵△ABC是“差余三角形”，∠A=110°，
∴分两种情况：
情况一：∠A - ∠B = 90°，则∠B = ∠A - 90° = 110° - 90° = 20°；
情况二：∠B - ∠C = 90°，
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A=110°，
∴∠B + ∠C = 70°，又∠B - ∠C = 90°，联立解得∠B = 80°（舍去，三角形内角和为180°，∠B=80°，∠C=-10°不成立）；
情况三：∠A - ∠C = 90°，则∠C = ∠A - 90° = 20°，
∴∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 110° - 20° = 50°。
综上，∠B的度数为20°或50°。
14. 如图，在△ABC中，∠A=110°，BD//CE，∠ABD=50°，则∠ACE=
$ 120^{\circ} $
.
答案：14. $ 120^{\circ} $
解析：
解：延长BA交CE于点F。
∵BD//CE，
∴∠AFE=∠ABD=50°。
∵∠BAC=110°，
∴∠CAF=180°-∠BAC=70°。
在△AFC中，∠ACE=∠CAF+∠AFE=70°+50°=120°。
故∠ACE=120°。
15. (2024·锡山区月考)在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，直线BE与高AD交于点F，若∠ABC=52°，∠CAD=28°，则∠FEC的度数为
$ 92^{\circ} $或 $ 144^{\circ} $
.
答案：15. $ 92^{\circ} $或 $ 144^{\circ} $
16. (2024·秦淮区期中)如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂；…；∠A₂₀₂₄BC和∠A₂₀₂₄CD的平分线交于点A₂₀₂₅，则∠A₂₀₂₅=
$ ( \dfrac{m}{2^{2025}} ) $
°.
答案：16. $ ( \dfrac{m}{2^{2025}} ) $
解析：
解：在△ABC中，∠ACD是∠ACB的外角，所以∠ACD=∠A+∠ABC。
因为BA₁平分∠ABC，CA₁平分∠ACD，
所以∠A₁BC=∠ABC/2，∠A₁CD=∠ACD/2。
又因为∠A₁CD是△A₁BC的外角，
所以∠A₁=∠A₁CD - ∠A₁BC = (∠ACD - ∠ABC)/2 = ∠A/2 = m°/2。
同理可得，∠A₂=∠A₁/2 = m°/2²，∠A₃=∠A₂/2 = m°/2³，…，
以此类推，∠Aₙ= m°/2ⁿ。
当n=2025时，∠A₂₀₂₅= m°/2²⁰²⁵。
故答案为：$\dfrac{m}{2^{2025}}$
三、解答题（共68分）
17. （8分）已知一个多边形的边数为n.
（1）若这个多边形的内角和是其外角和的4倍，求n的值；
（2）若这个多边形的每个内角均为135°，求n的值.
答案：17. 解：(1)根据题意，得$ (n - 2) · 180^{\circ} = 360^{\circ} × 4 $，解得$ n = 10 $。
(2)根据题意，得$ 135^{\circ}n = (n - 2) · 180^{\circ} $，解得$ n = 8 $。
