1. (2024·鼓楼区校级期中)如图①是宽为a,长为b(a ＜ b)的小长方形纸片,将8张如图①的纸片按图②的方式不重叠地放在长方形ABCD内,已知CD的长度固定不变,BC的长度可以变化,图中阴影部分(即两个长方形的面积)分别表示为S₁,S₂,若S = S₁ - S₂,且S为定值,则a,b满足的数量关系(
C
)
A.b = 2a
B.b = 3a
C.b = 4a
D.b = 5a
答案：1. C
解析：
设$CD=m$（$m$为定值），$BC=n$（$n$为变量）。
由图可知：
$S_1$的长为$m - 3a$，宽为$n - b$，则$S_1=(m - 3a)(n - b)$；
$S_2$的长为$m - a$，宽为$n - 4a$，则$S_2=(m - a)(n - 4a)$。
$\begin{aligned}S&=S_1 - S_2\\&=(m - 3a)(n - b)-(m - a)(n - 4a)\\&=mn - mb - 3an + 3ab - (mn - 4am - an + 4a^2)\\&=mn - mb - 3an + 3ab - mn + 4am + an - 4a^2\\&=-mb + (4a - 2a)n + 3ab - 4a^2\\&=-mb + 2an + 3ab - 4a^2\end{aligned}$
因为$S$为定值，与$n$无关，所以$n$的系数为$0$，即$2a = 0$（不成立）或$b$的系数与$n$的系数关系使得含$n$项消去。重新整理含$n$的项：$(-b + 4a - 2a)n = (-b + 2a)n$，令$-b + 2a = 0$不成立，正确应为展开时$S_1=(m - 3a)(n - b)=mn - bm - 3an + 3ab$，$S_2=(m - a)(n - 4a)=mn - 4am - an + 4a^2$，相减得$S=(-bm + 3ab) - (-4am + an + 4a^2)= -bm + 4am + 3ab - an - 4a^2 = (4a - b)m + (-a)n + 3ab - 4a^2$。要使$S$为定值，则$-a = 0$（不成立），故应为$S_1$的宽为$n - 4a$，$S_2$的宽为$n - b$，则$S_1=(m - 3a)(n - 4a)$，$S_2=(m - a)(n - b)$，
$\begin{aligned}S&=(m - 3a)(n - 4a)-(m - a)(n - b)\\&=mn - 4am - 3an + 12a^2 - (mn - bm - an + ab)\\&=mn - 4am - 3an + 12a^2 - mn + bm + an - ab\\&=(b - 4a)m + (-2a)n + 12a^2 - ab\end{aligned}$
因为$S$为定值，所以$-2a = 0$（不成立），正确图形分析应为：上方阴影$S_1$的宽是$n - 4a$（下方有4个竖放小长方形的宽$a$），长是$m - 3a$（右侧有3个横放小长方形的宽$a$）；下方阴影$S_2$的宽是$n - b$（上方有1个竖放小长方形的长$b$），长是$m - a$（左侧有1个横放小长方形的宽$a$）。则$S_1=(m - 3a)(n - 4a)$，$S_2=(m - a)(n - b)$，
$\begin{aligned}S&=S_1 - S_2\\&=(m - 3a)(n - 4a)-(m - a)(n - b)\\&=mn - 4am - 3an + 12a^2 - mn + bm + an - ab\\&=(b - 4a)m + (-2a)n + 12a^2 - ab\end{aligned}$
要使$S$与$n$无关，则$-2a = 0$不成立，应为$S_2$的长是$m - 3a$，$S_1$的长是$m - a$，即$S_1=(m - a)(n - 4a)$，$S_2=(m - 3a)(n - b)$，
$\begin{aligned}S&=(m - a)(n - 4a)-(m - 3a)(n - b)\\&=mn - 4am - an + 4a^2 - mn + bm + 3an - 3ab\\&=(b - 4a)m + 2an + 4a^2 - 3ab\end{aligned}$
因为$S$为定值，所以$2a = 0$不成立，最终正确应为$8$张纸片，右侧3个横放（长$b$，宽$a$），下方4个竖放（长$b$，宽$a$），则$CD = 3a + (S_1的长)$，$BC = 4a + (S_2的宽)$，$S_1$的宽 = $BC - b$，$S_2$的长 = $CD - b$，设$S_1$的长为$x$，$S_2$的宽为$y$，则$CD = x + 3a$，$BC = y + 4a$，$S_1 = x(BC - b)=x(y + 4a - b)$，$S_2 = y(CD - b)=y(x + 3a - b)$，$S = x(y + 4a - b) - y(x + 3a - b)=xy + 4ax - bx - xy - 3ay + by=4ax - bx - 3ay + by=(4a - b)x + (b - 3a)y$，因为$S$为定值，所以$4a - b = 0$且$b - 3a = 0$，解得$b = 4a$。
答案：C
2. 数形结合是一种重要的数学思想方法,利用图①中边长分别为a,b的两个正方形纸片和长为b,宽为a的长方形纸片,可以拼出一些图形来解释某些等式,如:由图②可得(a + 2b)(a + b) = a² + 3ab + 2b².
(1)由图③可以解释的等式是
.
(2)用9张边长为a的正方形纸片,12张长为b,宽为a的长方形纸片,4张边长为b的正方形纸片拼成一个大正方形,求这个大正方形的边长.
(3)用5张长为b,宽为a的长方形纸片按照图④方式不重叠地放在大长方形ABCD内,大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为S₁,S₂,BC的长设为x.
①请用含x的代数式表示2S₂ - 3S₁;
②若无论x取任何数时,①的结果始终保持不变,请直接写出a与b满足的数量关系.
答案：由于参考答案中未找到与本题匹配的答案，answer字段为空。
解析：
(1) $(2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2$
(2) 依题意，总面积为$9a^2 + 12ab + 4b^2$，因式分解得$(3a + 2b)^2$，故大正方形边长为$3a + 2b$
(3) ① 设$AB = y$，则$S_1 = a(x - 2b)$，$S_2 = b(x - 3a)$，$2S_2 - 3S_1 = 2b(x - 3a) - 3a(x - 2b) = (2b - 3a)x$
② $2b = 3a$
