1. (2024·靖江期末)已知 $a,b,c$ 为正整数，且满足 $2^{a}×3^{b}×4^{c}=384$，则 $a + b + c$ 的取值不可能是(
D
)
A.5
B.6
C.7
D.8
答案：1. D 点拨:根据题意,得$2^{a + 2c}· 3^{b}=2^{7}×3$,$\therefore a + 2c = 7$,$b = 1$,$\because a$,$b$,$c$为正整数,$\therefore$当$c = 1$时,$a = 5$;当$c = 2$时,$a = 3$;当$c = 3$时,$a = 1$,$\therefore a + b + c$不可能为8.
2. (2024·邗江区月考)已知 $2^{a}=5,2^{b}=10,2^{c}=50$，那么 $a,b,c$ 之间满足的等量关系是(
A
)
A.$a + b = c$
B.$ab = c$
C.$a:b:c = 1:2:10$
D.$a^{2}b^{2}=c^{2}$
答案：2. A
解析：
因为$2^{a}=5$，$2^{b}=10$，所以$2^{a}×2^{b}=5×10=50$。
又因为$2^{c}=50$，所以$2^{a}×2^{b}=2^{c}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^{a + b}=2^{c}$，则$a + b = c$。
A
3. 若 $15^{x}=24,5^{x}=12$，则 $9^{x}=$
4
。
答案：3. 4
解析：
解：因为$15^{x}=(3×5)^{x}=3^{x}×5^{x}=24$，且$5^{x}=12$，所以$3^{x}×12=24$，则$3^{x}=2$。
$9^{x}=(3^{2})^{x}=(3^{x})^{2}=2^{2}=4$。
4
4. 已知 $2^{a}=5,8^{b}=\frac{1}{10}$，则 $(a + 3b - 1)^{3}$ 的值为
$-8$
。
答案：4. $-8$
解析：
因为$8^{b}=(2^{3})^{b}=2^{3b}=\frac{1}{10}$，$2^{a}=5$，所以$2^{a}×2^{3b}=2^{a + 3b}=5×\frac{1}{10}=\frac{1}{2}=2^{-1}$，则$a + 3b=-1$，所以$a + 3b - 1=-1 - 1=-2$，因此$(a + 3b - 1)^{3}=(-2)^{3}=-8$。
5. 已知 $k^{a}=4,k^{b}=6,k^{c}=9,2^{a + c}·3^{a + c}=6^{a - b + 3}$，则 $8^{b}÷2^{a}=$
8
。
答案：5. 8 点拨:因为$k^{a}=4$,$k^{b}=6$,$k^{c}=9$,所以$k^{a}· k^{c}=k^{b}· k^{b}$,
所以$k^{a + c}=k^{2b}$,所以$a + c = 2b$.
因为$2^{a + c}· 3^{a + c}=6^{a - b + 3}$,所以$(2×3)^{a + c}=6^{a - b + 3}$,
所以$a + c = a - b + 3$,
所以$2b = a - b + 3$,即$3b - a = 3$,
所以$8^{b}÷2^{a}=2^{3b}÷2^{a}=2^{3b - a}=2^{3}=8$.
6. 已知 $2^{a}·5^{b}=2^{c}·5^{d}=10$，说明：$(a - 1)(d - 1)=(b - 1)(c - 1)$。
答案：6. 解:$\because2^{a}·5^{b}=10 = 2×5$,
$\therefore2^{a - 1}·5^{b - 1}=1$,
$\therefore(2^{a - 1}·5^{b - 1})^{d - 1}=1^{d - 1}$.①
同理可证$(2^{c - 1}·5^{d - 1})^{b - 1}=1^{b - 1}$.②
由①②两式得$2^{(a - 1)(d - 1)}·5^{(b - 1)(d - 1)}=2^{(c - 1)(b - 1)}·5^{(d - 1)(b - 1)}$,
即$2^{(a - 1)(d - 1)}=2^{(c - 1)(b - 1)}$,
$\therefore(a - 1)(d - 1)=(b - 1)(c - 1)$.
