1. 如图，在$ △ ABC $中，$ ∠ A = 64° $，$ ∠ ABC $与$ ∠ ACD $的平分线交于点$ A_1 $，得$ ∠ A_1 $；$ ∠ A_1BC $与$ ∠ A_1CD $的平分线交于点$ A_2 $，得$ ∠ A_2 $；……；$ ∠ A_{n - 1}BC $与$ ∠ A_{n - 1}CD $的平分线交于点$ A_n $，要使$ ∠ A_n $的度数为整数，则$ n $的最大值为(
B
)
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：1. B
解析：
证明：
∵$A_1B$平分$∠ABC$，$A_1C$平分$∠ACD$，
∴$∠A_1BC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠A_1CD=\frac{1}{2}∠ACD$。
∵$∠ACD=∠A+∠ABC$，$∠A_1CD=∠A_1+∠A_1BC$，
∴$\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)=∠A_1+\frac{1}{2}∠ABC$，
化简得$∠A_1=\frac{1}{2}∠A$。
同理可证：$∠A_2=\frac{1}{2}∠A_1=\frac{1}{2^2}∠A$，
以此类推，$∠A_n=\frac{1}{2^n}∠A$。
∵$∠A=64°$，
∴$∠A_n=\frac{64°}{2^n}=\frac{64°}{2^n}$。
要使$∠A_n$为整数，需$\frac{64}{2^n}$为整数。
当$n=1$时，$∠A_1=32°$；
$n=2$时，$∠A_2=16°$；
$n=3$时，$∠A_3=8°$；
$n=4$时，$∠A_4=4°$；
$n=5$时，$∠A_5=2°$；
$n=6$时，$∠A_6=1°$；
$n=7$时，$∠A_7=0.5°$（非整数）。
故$n$的最大值为6。
答案：C
2. (2024·盐城期末)如图，在$ △ ABC $中，$ BD $，$ CD $分别平分$ ∠ ABC $，$ ∠ ACB $，$ M $，$ N $，$ Q $分别在$ DB $，$ DC $，$ BC $的延长线上，$ BE $，$ CE $分别平分$ ∠ MBC $，$ ∠ BCN $，$ BF $，$ CF $分别平分$ ∠ EBC $，$ ∠ ECQ $。若$ ∠ F = 16° $，则$ ∠ A = $
128°
。
答案：2. 128°
解析：
证明：设$∠ABC = 2α$，$∠ACB = 2β$。
$∵BD$，$CD$分别平分$∠ABC$，$∠ACB$，
$∴∠DBC = α$，$∠DCB = β$。
$∵∠MBC = 180° - ∠ABC = 180° - 2α$，$BE$平分$∠MBC$，
$∴∠EBC = \frac{1}{2}∠MBC = 90° - α$。
$∵∠BCN = 180° - ∠ACB = 180° - 2β$，$CE$平分$∠BCN$，
$∴∠ECB = \frac{1}{2}∠BCN = 90° - β$。
在$△BEC$中，$∠E = 180° - ∠EBC - ∠ECB = 180° - (90° - α) - (90° - β) = α + β$。
$∵∠ECQ = 180° - ∠ECB = 180° - (90° - β) = 90° + β$，$CF$平分$∠ECQ$，
$∴∠FCQ = \frac{1}{2}∠ECQ = 45° + \frac{β}{2}$。
$∵BF$平分$∠EBC$，$∠EBC = 90° - α$，
$∴∠FBC = \frac{1}{2}∠EBC = 45° - \frac{α}{2}$。
$∵∠FCQ$是$△BFC$的外角，
$∴∠F = ∠FCQ - ∠FBC = (45° + \frac{β}{2}) - (45° - \frac{α}{2}) = \frac{α + β}{2}$。
已知$∠F = 16°$，则$\frac{α + β}{2} = 16°$，$α + β = 32°$。
在$△ABC$中，$∠A = 180° - 2α - 2β = 180° - 2(α + β) = 180° - 2×32° = 116°$。
（注：此处原答案128°有误，经推导正确结果为116°，按要求返回1）1
3. (2024·南通期末)已知$ ∠ EAF $为锐角，点$ B $，$ C $分别在$ AE $，$ AF $上。
(1) 如图①，若$ ∠ EAF = 56° $，连接$ BC $，$ ∠ ABC = α $，$ ∠ ACB = β $，$ ∠ CBE $的平分线与$ ∠ BCF $的平分线交于点$ P $，则$ α + β = $
124
$ ° $，$ ∠ P = $
62
$ ° $；
(2) 若点$ Q $在$ ∠ EAF $内部(点$ Q $不在线段$ BC $上)，连接$ BQ $，$ QC $，$ ∠ EAF = 56° $，$ ∠ CQB = 104° $，$ BM $，$ CN $分别平分$ ∠ QBE $和$ ∠ QCF $，且$ BM $与$ CN $交于点$ D $，求$ ∠ BDC $的度数；
(3) 如图②，$ G $是线段$ CB $延长线上一点，过点$ G $作$ GH ⊥ AE $于点$ H $，$ ∠ EAF $与$ ∠ CGH $的平分线交于点$ O $，请直接写出$ ∠ ACG $与$ ∠ AOG $的数量关系。
答案：3. (1) 124；62
(2) 解：延长$ BQ $交$ AF $于点$ K $。
在$ △ ABK $中，$ ∠ BKF = ∠ A + ∠ ABK $，
在$ △ KCQ $中，$ ∠ BQC = ∠ BKF + ∠ ACQ = ∠ A + ∠ ABK + ∠ ACQ $。
设$ ∠ ABQ = x $，$ ∠ ACQ = y $，则$ ∠ QBE = 180^{\circ}-x $，$ ∠ QCF = 180^{\circ}-y $。
因为$ BM $，$ CN $分别平分$ ∠ QBE $和$ ∠ QCF $，所以$ ∠ MBE=\frac{1}{2}∠ QBE = 90^{\circ}-\frac{1}{2}x $，$ ∠ NCF=\frac{1}{2}∠ QCF = 90^{\circ}-\frac{1}{2}y $。
又因为$ ∠ A = 56^{\circ} $，$ ∠ BQC = 104^{\circ} $，所以$ 104^{\circ}=56^{\circ}+x + y $，解得$ x + y = 48^{\circ} $。
在四边形$ ABDC $中，$ ∠ BDC + ∠ A+∠ ABD + ∠ ACD=360^{\circ} $，
而$ ∠ ABD = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-x)=90^{\circ}+\frac{1}{2}x $，$ ∠ ACD = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-y)=90^{\circ}+\frac{1}{2}y $，
所以$ ∠ BDC+56^{\circ}+(90^{\circ}+\frac{1}{2}x)+(90^{\circ}+\frac{1}{2}y)=360^{\circ} $，
把$ x + y = 48^{\circ} $代入得：$ ∠ BDC+56^{\circ}+90^{\circ}+24^{\circ}+90^{\circ}+24^{\circ}=360^{\circ} $，
解得$ ∠ BDC = 76^{\circ} $。
(3) $ ∠ ACG = 2∠ AOG + 90^{\circ} $。
