1. 若$x = 3$是关于$x$的不等式$3x - m ≥ 2x + 3$的一个整数解,而$x = 2$不是其整数解,则$m$的取值范围为(
C
)
A.$- 1 ＜ m ＜ 0$
B.$- 1 ≤ m ≤ 0$
C.$- 1 ＜ m ≤ 0$
D.$- 1 ≤ m ＜ 0$
答案：1. C 点拨：$3x - m ≥ 2x + 3$，$3x - 2x ≥ 3 + m$，$x ≥ 3 + m$。
$\because x = 3$是关于$x$的不等式$3x - m ≥ 2x + 3$的一个整数解，而$x = 2$不是其整数解，$\therefore 2 ＜ 3 + m ≤ 3$，解得$-1 ＜ m ≤ 0$。
2. (2024·秦淮区三模)关于$x$的不等式组$\{\begin{array}{l}x ＞ 1,\\x ≤ m + 2\end{array} $有且只有两个整数解,则$m$的取值范围是 ______ .
答案：2. $1 ≤ m ＜ 2$ 点拨：$\begin{cases}x ＞ 1,\\x ≤ m + 2,\end{cases}$ $\therefore$不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ m + 2$。$\because$不等式组只有两个整数解，$\therefore 3 ≤ m + 2 ＜ 4$，解得$1 ≤ m ＜ 2$。
解析：
不等式组$\begin{cases}x＞1 \\ x≤ m+2\end{cases}$的解集为$1 ＜ x ≤ m+2$。
因为不等式组有且只有两个整数解，大于$1$的连续两个整数为$2$、$3$，所以这两个整数解为$2$、$3$，则$3 ≤ m+2 ＜ 4$。
解不等式$3 ≤ m+2$，得$m ≥ 1$；解不等式$m+2 ＜ 4$，得$m ＜ 2$。
综上，$m$的取值范围是$1 ≤ m ＜ 2$。
$1 ≤ m ＜ 2$
3. (2024·宿豫区三模)关于$x$的不等式$2x - a ＜ 4$有$2$个正整数解,则$a$的取值范围是
0 ＜ a ≤ 2
.
答案：3. $0 ＜ a ≤ 2$ 点拨：$2x - a ＜ 4$，$2x ＜ 4 + a$，$x ＜ \frac{4 + a}{2}$。$\because$不等式有$2$个正整数解，$\therefore 2 ＜ \frac{4 + a}{2} ≤ 3$，解得$0 ＜ a ≤ 2$。
解析：
解：$2x - a ＜ 4$
$2x ＜ 4 + a$
$x ＜ \frac{4 + a}{2}$
∵不等式有2个正整数解，
∴正整数解为1，2，
∴$2 ＜ \frac{4 + a}{2} ≤ 3$
$4 ＜ 4 + a ≤ 6$
$0 ＜ a ≤ 2$
故答案为：$0 ＜ a ≤ 2$
4. 甲、乙两个长方形的边长如图所示($m$为正整数),其面积分别为$S_{1}$,$S_{2}$.
(1)填空:$S_{1} - S_{2} =$
2m - 1
;(用含$m$的代数式表示)
(2)一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和.设该正方形的边长为$x$,求$x$的值;(用含$m$的代数式表示)
(3)另一个正方形的边长为正整数$n$,且满足条件$1 ≤ n ＜ S_{1} - S_{2}$的$n$有且只有$4$个,求$m$的值.
答案：4. (1)$2m - 1$
(2)解：根据题意，得
$4x = 2(m + 7 + m + 1) + 2(m + 4 + m + 2)$，解得$x = 2m + 7$。
(3)解：$\because 1 ≤ n ＜ 2m - 1$，
由题意，得$4 ＜ 2m - 1 ≤ 5$，
解得$2.5 ＜ m ≤ 3$。
$\because m$是正整数，$\therefore m = 3$。
