1. (2024·连云区月考)我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人,如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”.
$\begin{aligned}& ··· ··· (a + b)^1 = a + b \\& ··· ··· (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\& ··· ··· (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\& ··· ··· (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\end{aligned}$
此图揭示了$(a + b)^n$（$n$为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律,由此规律可解决下列问题:
(1) 在图中括号内的数为
6
；
(2)$(a + b)^{20}$展开式共有
21
项,第 19 项系数为
190
；
(3) 根据上面的规律,写出$(a + b)^6$的展开式:
$a^{6}+6a^{5}b+15a^{4}b^{2}+20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}+6ab^{5}+b^{6}$
；
(4) 利用上面的规律计算:$3^5 - 5×3^4 + 10×3^3 - 10×3^2 + 5×3 - 1$；
(5) 假如今天是星期五,那么再过$6^{21}$天是星期几? (写过程)
答案：1. (1)6
(2)21 190
(3)$a^{6}+6a^{5}b+15a^{4}b^{2}+20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}+6ab^{5}+b^{6}$
(4)解:$\because (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$，
$\therefore$当$a=3$，$b=-1$时，$(3-1)^{5}=3^{5}-5×3^{4}+10×3^{3}-10×3^{2}+5×3-1$，
$\therefore 3^{5}-5×3^{4}+10×3^{3}-10×3^{2}+5×3-1=2^{5}=32$。
(5)解:$6^{21}=(7-1)^{21}=7^{21}-a· 7^{20}+b· 7^{19}-c· 7^{18}+··· +r· 7^{2}-s· 7-1$（$a$，$b$，$c$，$r$，$s$是一列常数），
$\because 7^{21}-a· 7^{20}+b· 7^{19}-c· 7^{18}+··· +r· 7^{2}-s· 7$刚好是 7 的整数倍，
$\therefore 6^{21}$除以 7 的结果余数为 6，
$\therefore$假如今天是星期五，那么再过$6^{21}$天是星期四。
2. (2024·海安期末)定义:对于形如$a(x - b)^2 + c$($a,b,c$为常数,其中$a ≠ 0$)的多项式,若$x$取两个不相等的数值$m,n$时,该多项式的值相等,则称数值$m$和$n$为多项式$a(x - b)^2 + c$的一组“等值元”，记作$[m,n]$. 例如多项式$(x - 2)^2 + 1$,当$x$取 0 和 4 时,多项式$(x - 2)^2 + 1$的值均为 5,则称 0 和 4 为多项式$(x - 2)^2 + 1$的一组“等值元”，记作$[0,4]$.
(1) 下列各组数值中,是多项式$-2(x + 3)^2 + 5$的“等值元”的有
①③
；(填序号)
①$-5$和$-1$；②0 和$-3$；③$-\frac{1}{2}$和$-\frac{11}{2}$.
(2) 若$[-2,-5]$是$3(x - b)^2 - 4$的一组“等值元”，求$b$的值；
(3) 若$[m,n]$和$[m - 2,t]$是多项式$a(x - b)^2 + c$的两组“等值元”，求$n - t$的值.
答案：2. (1)①③
(2)解:$\because [-2,-5]$是$3(x-b)^{2}-4$的一组“等值元”，
$\therefore 3(-2-b)^{2}-4=3(-5-b)^{2}-4$，解得$b=-\frac{7}{2}$。
(3)解:$\because [m,n]$是多项式$a(x-b)^{2}+c$的两组“等值元”，
$\therefore a(m-b)^{2}+c=a(n-b)^{2}+c$，
$\because m≠ n$，$\therefore m-b=b-n$，即$m+n=2b$。
又$\because [m-2,t]$是多项式$a(x-b)^{2}+c$的“等值元”，
$\therefore a(m-2-b)^{2}+c=a(t-b)^{2}+c$。
$\because m+n=2b$，$\therefore m=2b-n$，
$\therefore (2b-n-2-b)^{2}=(t-b)^{2}$，
即$(b-n-2)^{2}=(t-b)^{2}$，且$b-n-2≠ t-b$，
$\therefore b-n-2=b-t$，$\therefore n-t=-2$。
