1. (2025·泰州月考)下列方程中是二元一次方程的是(
B
)
A.$xy - 1 = 0$
B.$2x + 3y = 4$
C.$\frac{1}{y} = 2 - x$
D.$x^{2} - 2x = 0$
答案：1. B
2. (2024·亭湖区一模)某次知识竞赛共有 20 道题，规定：每答对一道题得 $ + 5$ 分，每答错一道题得 $ - 2$ 分，不答的题得 0 分. 已知圆圆这次竞赛得了 60 分，设圆圆答对了 $x$ 道题，答错了 $y$ 道题，则(
C
)
A.$x - y = 20$
B.$x + y = 20$
C.$5x - 2y = 60$
D.$5x + 2y = 60$
答案：2. C
解析：
已知圆圆答对了$x$道题，答错了$y$道题，每答对一道题得$+5$分，每答错一道题得$-2$分，竞赛得了$60$分，根据得分可列方程：$5x - 2y = 60$。
C
3. (2024·南通期中)已知$\begin{cases}x = 2,\\y = - 1\end{cases}$是二元一次方程 $ax + by = 1$ 的一组解，则$\frac{5}{2}b - 5a + \frac{3}{2} =$ ______ .
答案：3. -1
解析：
因为$\begin{cases}x = 2\\y = - 1\end{cases}$是二元一次方程$ax + by = 1$的一组解，所以将$x = 2$，$y=-1$代入方程可得：$2a - b=1$，即$b - 2a=-1$。
对$\frac{5}{2}b - 5a + \frac{3}{2}$进行变形可得：$\frac{5}{2}(b - 2a)+\frac{3}{2}$。
把$b - 2a=-1$代入上式，得$\frac{5}{2}×(-1)+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=-1$。
$-1$
4. 已知二元一次方程 $2m - 3n = - 8$.
(1)用含 $n$ 的代数式表示 $m$，则 $m =$
$\frac{3}{2}n - 4$
；
(2)根据给定的 $n$ 的值，求出对应的 $m$ 的值，填入表：
(3)写出方程的 4 组解.
答案：4. (1) $\frac{3}{2}n - 4$
(2) -7 -4 $\frac{1}{2}$ $\frac{7}{2}$
(3) 解：$\begin{cases} m = -\frac{11}{2}, \\ n = -1, \end{cases}$ $\begin{cases} m = -\frac{5}{2}, \\ n = 1, \end{cases}$ $\begin{cases} m = -1, \\ n = 2, \end{cases}$ $\begin{cases} m = 2, \\ n = 4. \end{cases}$（答案不唯一）
5. (2025·南充)我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，…，问物几何?”意思是：有一些物体不知个数，每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个，…问这些物体共有多少个? 设 3 个一数共数了 $x$ 次，5 个一数共数了 $y$ 次，其中 $x,y$ 为正整数，依题意可列方程(
A
)
A.$3x + 2 = 5y + 3$
B.$5x + 2 = 3y + 3$
C.$3x - 2 = 5y - 3$
D.$5x - 2 = 3y - 3$
答案：5. A
解析：
设物体总数为$N$。
因为每3个一数，剩余2个，数了$x$次，所以$N = 3x + 2$；
每5个一数，剩余3个，数了$y$次，所以$N = 5y + 3$。
由于物体总数$N$不变，故$3x + 2 = 5y + 3$。
A
6. (2025·仪征期末)若$\begin{cases}x = 1,\\y = - 2\end{cases}$是方程 $3x + ay = 5$ 的解，则 $a$ 的值是( )
A.$1$
B.$- 1$
C.$4$
D.$- 4$
答案：6. B
解析：
将$x = 1$，$y = - 2$代入方程$3x + ay = 5$，得$3×1 + a×(-2)=5$，即$3 - 2a = 5$，移项得$-2a = 5 - 3$，$-2a = 2$，解得$a=-1$。
B
7. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程解的问题. 例如，方程 $x + 2y = 3$ 恰有一个正整数解 $x = 1,y = 1$. 类似地，方程 $2x + 3y = 21$ 的正整数解的个数是(
C
)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：7. C
解析：
方程$2x + 3y = 21$，变形得$x = \frac{21 - 3y}{2}$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$21 - 3y$必须是正偶数，且$y$为正整数。
$21 - 3y ＞ 0$，即$3y ＜ 21$，$y ＜ 7$。
$21 - 3y$为偶数，$21$是奇数，$3y$必为奇数，所以$y$为奇数。
$y$可取$1$，$3$，$5$。
当$y = 1$时，$x = \frac{21 - 3×1}{2} = 9$；
当$y = 3$时，$x = \frac{21 - 3×3}{2} = 6$；
当$y = 5$时，$x = \frac{21 - 3×5}{2} = 3$。
正整数解有$3$个，答案选C。
