8. 已知$a$,$b$满足$a + b = 2$,则$a^{2} - b^{2} + 4b =$
4
.
答案：8. 4
解析：
因为$a + b = 2$，所以$a = 2 - b$。
将$a = 2 - b$代入$a^2 - b^2 + 4b$可得：
$\begin{aligned}&(2 - b)^2 - b^2 + 4b\\=&4 - 4b + b^2 - b^2 + 4b\\=&4\end{aligned}$
4
9. (2024·工业园区期中)计算:$2023^{2} - 2022×2024 =$
1
.
答案：9. 1
解析：
$2023^{2} - 2022×2024$
$=2023^{2}-(2023-1)(2023+1)$
$=2023^{2}-(2023^{2}-1)$
$=2023^{2}-2023^{2}+1$
$=1$
10. (2024·镇江期中)计算:$(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1) =$
$\frac {2^{16}-1}{3}$
.
答案：10. $\frac {2^{16}-1}{3}$
解析：
$(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)$
$=\frac{(2^{2}-1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)}{2^{2}-1}$
$=\frac{(2^{4}-1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)}{3}$
$=\frac{(2^{8}-1)(2^{8} + 1)}{3}$
$=\frac{2^{16}-1}{3}$
$\frac{2^{16}-1}{3}$
11. 用简便方法计算:
(1) $1.03×0.97$;
(2) $100\dfrac{1}{2}×99\dfrac{1}{2}$.
答案：11. 解: (1) 原式$=(1+0.03)×(1-0.03)=1^{2}-0.03^{2}=1-0.0009=0.9991$.
(2) 原式$=(100+\frac {1}{2})(100-\frac {1}{2})=100^{2}-(\frac {1}{2})^{2}=10000-\frac {1}{4}=9999\frac {3}{4}$.
12. (2024·建邺区期中)已知$a ＞ 0$,$b ＜ 0$,$(3a + 3b + 1)(3a + 3b - 1) = 899$,求$a + b$的值.
答案：12. 解: 因为$(3a+3b+1)(3a+3b-1)=899$, 所以$(3a+3b)^{2}-1=899$, 即$(3a+3b)^{2}=900$. 又因为$(\pm 30)^{2}=900,a＞0,b＜0,a+b$可能是正数, 也可能是负数, 所以$3a+3b=\pm 30$, 即$a+b=\pm 10$.
解析：
解：因为$(3a + 3b + 1)(3a + 3b - 1) = 899$，所以$(3a + 3b)^2 - 1^2 = 899$，即$(3a + 3b)^2 = 900$。
则$3a + 3b = \pm 30$，两边同时除以$3$，得$a + b = \pm 10$。
因为$a ＞ 0$，$b ＜ 0$，$a + b$的值可正可负，所以$a + b = 10$或$a + b = -10$。
综上，$a + b$的值为$\pm 10$。
13. (2024·雨花台区期中)(1)从“数”的角度说明:当$a ＞ 0$,$b ＞ 0$时,$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$;
(2)从“形”的角度说明:当$a ＞ 0$,$b ＞ 0$时,$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$.
答案：13. 解: (1) 因为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, 所以$(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}=2ab$. 因为$a＞0,b＞0$, 所以$2ab＞0$, 所以$(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}＞0$, 即当$a＞0,b＞0$时,$(a+b)^{2}＞a^{2}+b^{2}$.
(2) 当$a＞0,b＞0$时, 如答图所示. 根据图形可知, 大正方形的边长为$(a+b)$, 因此面积为$(a+b)^{2}$. 组成大正方形的四个部分中, 正方形①, 正方形②的面积和为$a^{2}+b^{2}$, 而长方形③, 长方形④的面积和为$2ab$, 由拼图可得, 当$a＞0,b＞0$时,$(a+b)^{2}＞a^{2}+b^{2}$.
14. (2025·苏州期中)观察下列各式:
$(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$;$(a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$;
$(a - b)(a^{3} + a^{2}b + ab^{2} + b^{3}) = a^{4} - b^{4}······$
(1)填空:$(a - b)(a^{2025} + a^{2024}b + ··· + ab^{2024} + b^{2025}) =$
$a^{2026}-b^{2026}$
.
(2)猜想:$(a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + ··· + ab^{n - 2} + b^{n - 1}) =$
$a^{n}-b^{n}$
.(其中$n$为正整数,且$n≥ 2$)
(3)利用(2)中猜想的结论计算:
①$1 + 2 + 2^{2} + ··· + 2^{2021} + 2^{2022} + 2^{2023}$;
②$3^{10} - 3^{9} + 3^{8} - 3^{7} + ··· + 3^{4} - 3^{3} + 3^{2} - 3$.
答案：14. (1)$a^{2026}-b^{2026}$
(2)$a^{n}-b^{n}$
(3) 解: ①因为$1+2+2^{2}+... +2^{2021}+2^{2022}+2^{2023}=2^{2023}+2^{2022}×1+2^{2021}×1^{2}+... +2^{2}×1^{2021}+2×1^{2022}+1^{2023}$, 所以$a=2,b=1$, 所以原式$=2^{2024}-1$.
②由题意, 得$a=3,b=-1$,
因为$[3-(-1)]×[3^{10}+3^{9}×(-1)^{1}+3^{8}×(-1)^{2}+... +3^{3}×(-1)^{7}+3^{2}×(-1)^{8}+3^{1}×(-1)^{9}+(-1)^{10}]=3^{11}-(-1)^{11}=177148$,
所以$3^{10}-3^{9}+3^{8}-3^{7}+... +3^{4}-3^{3}+3^{2}-3=\frac {1}{4}×177148-1=44286$.
