跟踪练习3 新素养
应用意识 如图，工地上有一根圆柱形水泥管被截去了一部分，它现在的体积是(
494.55
)立方分米。
答案：[跟踪练习3] $494.55$
解析：
$8÷2=4(\mathrm{dm})$
$6÷2=3(\mathrm{dm})$
$3.14×(4^2-3^2)×(20+25)÷2$
$=3.14×(16-9)×45÷2$
$=3.14×7×45÷2$
$=3.14×315÷2$
$=989.1÷2$
$=494.55(\mathrm{dm}^3)$
494.55
类型 稍复杂的物体入水问题
例 一个内底面积是 $15 \mathrm{ cm}^2$ 的圆柱形玻璃杯中装有 $3 \mathrm{ cm}$ 深的水。现把一个底面半径是 $1 \mathrm{ cm}$、高是 $5 \mathrm{ cm}$ 的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯中（水没有溢出），水面上升了多少厘米？（$\pi$ 取 $3$）
答案：这道题没有说明圆柱形铁块是否浸没在水中，所以要先判断高是 $5 \mathrm{ cm}$ 的圆柱形铁块垂直放入水深 $3 \mathrm{ cm}$ 的玻璃杯后是全部浸在水中，还是部分浸在水中。因为全部浸在水中的情况比较好解决，所以可以先假设圆柱形铁块全部浸在水中，此时原有水的体积与圆柱形铁块的体积之和为 $15 × 3 + 3 × 1^2 × 5 = 60 (\mathrm{cm}^3)$，水面高 $60 ÷ 15 = 4 (\mathrm{cm})$，因为圆柱形铁块的高是 $5 \mathrm{ cm}$，$4 ＜ 5$，所以圆柱形铁块不可能全部浸在水中。
现在来考虑圆柱形铁块没有全部浸在水中时，水面上升的高度。把圆柱形铁块垂直放入玻璃杯中，水所覆盖的底面积是玻璃杯的内底面积与圆柱形铁块的底面积之差，即 $15 - 3 × 1^2 = 12 (\mathrm{cm}^2)$。而水的体积是不变的，即 $15 × 3 = 45 (\mathrm{cm}^3)$。这时只要考虑水的体积，此时水的形状如图，水的底面是一个环形，这个空心圆柱的体积就是水的体积，用水的体积除以水的底面积就可以求出圆柱形铁块放入水中后，水面的高度是 $45 ÷ 12 = 3.75 (\mathrm{cm})$，所以水面上升了 $3.75 - 3 = 0.75 (\mathrm{cm})$。
规范解答
假设圆柱形铁块完全浸在水中。$15 × 3 = 45 (\mathrm{cm}^3)$ $45 + 3 × 1^2 × 5 = 60 (\mathrm{cm}^3)$ $60 ÷ 15 = 4 (\mathrm{cm})$ 因为 $4 ＜ 5$，所以圆柱形铁块不可能全部浸在水中。
$15 - 3 × 1^2 = 12 (\mathrm{cm}^2)$ $45 ÷ 12 = 3.75 (\mathrm{cm})$ $3.75 - 3 = 0.75 (\mathrm{cm})$
答：水面上升了 $0.75$ 厘米。
跟踪练习
一个盛有水的圆柱形容器，内底面半径为 $5 \mathrm{ cm}$，容器深 $20 \mathrm{ cm}$，水深 $15 \mathrm{ cm}$。现在将一个底面半径是 $2 \mathrm{ cm}$、高是 $17 \mathrm{ cm}$ 的圆柱形铁块垂直放入容器内，这时容器内水深(
17.72
)厘米。
答案：思维创新探究
[跟踪练习] 17.72 解析 假设圆柱形铁块完全浸在水中，此时原有水的体积与圆柱形铁块的体积之和为$ 3.14 × 5^{2} × 15 + 3.14 × 2^{2} × 17 = 1391.02(cm^{3})，$水面高$ 1391.02 ÷ (3.14 × 5^{2}) = 17.72(cm)，$17.72 ＞ 17，所以圆柱形铁块全部浸在水中，这时容器内水深 17.72 厘米。
