8. 李老师在整理建模小组 10 名学生的成绩时不小心遗失了一名学生的成绩,且剩余学生的成绩(单位:分)如下:5,6,6,7,7,7,8,9,9.但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第一四分位数,则这 10 名学生的成绩的方差为
$\frac{8}{5}$
.
解析：
设遗失的成绩为$x$，10名学生成绩排序后为$a_1,a_2,···,a_{10}$。
第一四分位数位置$Q_1=\frac{10+1}{4}=2.75$，故$Q_1=0.25a_2 + 0.75a_3$。
剩余成绩排序：5,6,6,7,7,7,8,9,9。
若$x \leq 6$，排序后前三位可能为$x,5,6$或$5,x,6$或$5,6,x$（$x \leq 6$），此时$a_2=5$或$6$，$a_3=6$，计算得$Q_1$非整数，不合题意。
若$6 ＜ x ＜ 7$，排序后前三位为5,6,6，$a_2=6$，$a_3=6$，$Q_1=6$，则$x=6$，矛盾。
若$x \geq 7$，排序后前三位为5,6,6，$a_2=6$，$a_3=6$，$Q_1=6$，则$x=6$（与$x \geq 7$矛盾）或$x=6$（补入后排序为5,6,6,6,7,7,7,8,9,9）。
此时成绩为5,6,6,6,7,7,7,8,9,9。
平均数$\bar{x}=\frac{5+6+6+6+7+7+7+8+9+9}{10}=7$。
方差$s^2=\frac{1}{10}[(5-7)^2+3×(6-7)^2+3×(7-7)^2+(8-7)^2+2×(9-7)^2]=\frac{1}{10}[4+3+0+1+8]=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}$。
$\frac{8}{5}$
