7. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，点 $ E $ 在 $ AD $ 上，$ EC // AB $，$ EB // DC $.
(1) 找出图中的相似三角形并证明.
(2) 设 $ \triangle ABE $ 的边 $ BE $ 上的高为 $ h_1 $，$ \triangle CDE $ 的边 $ CD $ 上的高为 $ h_2 $. 若 $ \triangle ABE $ 的面积为 $ 4 $，$ \triangle CDE $ 的面积为 $ 9 $，求 $ \dfrac{h_1}{h_2} $ 的值及 $ \triangle BCE $ 的面积.
答案：解：(1)△ABE∽△ECD
∵EC//AB
∴∠A=∠CED
∵EB//DC
∴∠AEB=∠EDC
(2)∵△ABE∽△ECD
∴$\frac {S_{△ABE}}{S_{△ECD}}=(\frac {h_{1}}{h_{2}})^2=\frac 49$
∴$\frac {h_{1}}{h_{2}}=\frac 23$
∵$\frac {S_{△BCE}}{S_{△CDE}}=\frac {BE}{CD}=\frac {h_{1}}{h_{2}}=\frac 23，$$S_{△CDE}=9$
∴$S_{△BCE}=6$
8. 一块三角形铁片 $ ABC $，$ BC = 12 \mathrm{ cm} $，高 $ AH = 8 \mathrm{ cm} $，按图①、图②两种设计方案把它加工成一块矩形铁片 $ DEFG $，且要求矩形的长是宽的 $ 2 $ 倍. 为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些. 请你通过计算判断图①、图②两种设计方案哪个更好.
答案：解：图①中，设$DE=x\ \mathrm {cm}，$则$DG=2x\ \mathrm {cm}$
∵四边形DEFG 是矩形
∴DG//BC
∴△ADG∽△ABC
∴$\frac {AM}{AH}=\frac {DG}{BC}$
∵$DG=2x\ \mathrm {cm}，$$BC=12\ \mathrm {cm}，$$AH=8\ \mathrm {cm}$
∴$\frac {AM}8=\frac {2x}{12}$
∴$AM=\frac 43x\ \mathrm {cm}$
∵$MH=DE=x\ \mathrm {cm}$
又∵AM+MH=AH
∴$\frac 43x+x=8$
解得$x=\frac {24}{7}$
∴$S_{矩形DEFG}=DE×DG=\frac {1152}{49}\ \mathrm {cm^2}$
图②中，设$DG=x\ \mathrm {cm}，$则$DE=2x\ \mathrm {cm}$
同理可得，△ADG∽△ABC
∴$\frac {AM}{AH}=\frac {DG}{BC}$
∴$AM=\frac 23x\ \mathrm {cm}$
∵$MH=DE=2x\ \mathrm {cm}，$$AM+MH=AH=8\ \mathrm {cm}$
∴$\frac 23x+2x=8$
解得x=3
∴$DG=3\ \mathrm {cm}，$$DE=6\ \mathrm {cm}$
∴$S_{矩形DEFG}=DG×DE=18\ \mathrm {cm^2}$
∵$\frac {1152}{49}＞18$
∴图①的设计方案更好
9. 如图，$ AD $、$ BE $ 是锐角三角形 $ ABC $ 的高，$ A'D' $、$ B'E' $ 是锐角三角形 $ A'B'C' $ 的高，且 $ \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{A'B'}{A'D'} = k $，$ \angle C = \angle C' $. 试证明：$ AD · B'E' = A'D' · BE $.
答案：解：由题意得$AB=k_{AD}，$A'B'=kA'D'
∵$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=\sqrt {k^2-1}AD，$$B'D'=\sqrt {A'B'^2-A'D'^2}=\sqrt {k^2-1}A'D'$
∴$\frac {BD}{B'D'}=\frac {AD}{A'D'}$
∵∠ADB=∠A'D'B'=90°
∴△ABD∽△A'B'D'
∴∠ABD=∠A'B'D'
∵∠C=∠C'
∴△ABC∽△A'B'C'
∴$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AD}{A'D'}=\frac {BE}{B'E'}$
∴AD · B'E'=A'D' · BE
