9. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像过点 $ (1,1) $ 且顶点坐标是 $ (-2,0) $.
(1) 求这个函数的表达式.
(2) $ x $ 在何范围取值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3) 求这个函数的图像与 $ y $ 轴交点的坐标.
答案：解：(1)由顶点坐标(-2，0)可设函数表达式为$y=a(x+2)^2$
将点(1，1)代入函数表达式可得$1=a(1+2)^2，$$a=\frac 19$
∴$y=\frac 19(x+2)^2$
(2)∵$\frac 19＞0$
∴当x＞-2时，y随x的增大而增大
(3)令x=0，$y=\frac 49$
∴这个函数图像与y轴的交点坐标为(0，$\frac 49)$
10. 如图，已知二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c $ 的图像经过点 $ A(2,0) $、$ B(0,-6) $.
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 设该二次函数图像的对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ C $，连接 $ BA $、$ BC $，求 $ \triangle ABC $ 的面积.
答案：解：(1)将点A(2，0)、B(0，-6)代入函数表达式
得$\begin{cases}{-\dfrac 12×2^2+2b+c=0}\\{c=-6}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{b=4}\\{c=-6}\end{cases}$
∴$y=-\frac 12x^2+4x-6$
(2)对称轴为$x=-\frac {4}{2×(-\frac 12)}=4$
∴C(4，0)
∴$S_{△ABC}=\frac 12×2×6=6$
11. 已知点 $ A(-2,-c) $ 向右平移 $ 8 $ 个单位长度得到点 $ A' $，$ A $ 与 $ A' $ 两点均在二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像上，且该图像与 $ y $ 轴的交点的纵坐标为 $ -6 $，求该图像的顶点坐标.
答案：解：由抛物线与y轴交点的纵坐标为-6，得c=-6
∴A(-2，6)，点A向右平移8个单位长度得到点A'(6，6)
∵A与A'两点均在抛物线上
∴$\begin{cases}{4a-2b-6=6}\\{36a+6b-6=6}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=1}\\{b=-4}\end{cases}$
∴这个函数的表达式是$y=x^2-4x-6=(x-2)^2-10$
∴抛物线的顶点坐标为(2，-10)
12. 学习函数离不开数形结合、类比等数学思想. 已知函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $，求该函数图像关于 $ y $ 轴对称的图像相应的函数表达式. 方法一：可利用关于 $ y $ 轴对称的点横坐标为相反数、纵坐标不变这一性质，将函数表达式中的“$ x $”换成“$ -x $”，得到所求的函数表达式 $ y = (-x)^2 - 4(-x) + 3 $，即 $ y = x^2 + 4x + 3 $. 方法二：先将 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 化成 $ y = (x - 2)^2 - 1 $，可知顶点坐标为 $ (2,-1) $，将这一抛物线沿 $ y $ 轴翻折后，即 $ a $ 不变，顶点坐标变为 $ (-2,-1) $，根据这些信息可直接写出所求函数表达式为 $ y = (x + 2)^2 - 1 $，即 $ y = x^2 + 4x + 3 $.
利用上述方法，分别求函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 的图像关于 $ x $ 轴对称，以及关于原点对称的图像相应的函数表达式.
答案：解：将函数表达式中的“y”换成“-y”可得$-y=x^2-4x+3$
∴$y=-x^2+4x-3$
∴关于x轴对称的函数表达式为$y=-x^2+4x-3$
再将“x”换成“-x”可得$y=-(-x)^2+4(-x)-3=-x^2-4x-3$
∴关于原点对称的函数表达式为$y=-x^2-4x-3$
