例 2 某工厂生产大小不同的正方形合金薄板(其厚度忽略不计)，薄板的边长在 $ 5 \sim 50 \mathrm{ cm} $ 之间，每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积成正比例，每张薄板的出厂价由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比. 在营销过程中得到了下表中的数据：
(1) 求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数表达式.
(2) 已知出厂一张边长为 $ 40 \mathrm{ cm} $ 的薄板获得利润是 $ 26 $ 元(利润 $ = $ 出厂价 $ - $ 成本价).
① 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数表达式.
② 当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
答案：分析：(1) 每张薄板的出厂价由基础价和浮动价两部分组成，由此构建一次函数模型，再根据表格中的数据，求出函数表达式.
(2) 根据利润 $ = $ 出厂价 $ - $ 成本价，构建二次函数模型，再利用顶点坐标公式或配方法求出当边长为多少时薄板利润最大以及最大利润是多少，但是需要验证顶点的横坐标是否在 $ x $ 的取值范围内.
解：(1) 设一张薄板的边长为 $ x \mathrm{ cm} $，它的出厂价为 $ y $ 元，基础价为 $ n $ 元，浮动价为 $ kx $ 元，则 $ y = kx + n $. 由表中数据，得 $ \begin{cases} 50 = 20k + n, \\ 70 = 30k + n. \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 2, \\ n = 10. \end{cases} $ $ \therefore y = 2x + 10 $.
(2) ① 设一张薄板的利润为 $ P $ 元，它的成本价为 $ mx^2 $ 元.
由题意，得 $ P = y - mx^2 $，即 $ P = 2x + 10 - mx^2 $. 将 $ x = 40 $、$ P = 26 $ 代入 $ P = 2x + 10 - mx^2 $，得 $ 26 = 2 × 40 + 10 - m × 40^2 $. 解得 $ m = \frac{1}{25} $. $ \therefore P = -\frac{1}{25}x^2 + 2x + 10 $.
② $ \because a = -\frac{1}{25} ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ x = 25 $ 时，$ P_{\mathrm{最大值}} = 35 $，而 $ 5 ＜ 25 ＜ 50 $，所以出厂一张边长为 $ 25 \mathrm{ cm} $ 的薄板，所获得的利润最大，最大利润为 $ 35 $ 元.
1. 如图，在某运动会开幕式上，根据火炬点燃方案，要从位于点 $ O $ 正上方 $ 2 \mathrm{ m} $ 处的点 $ B $ 发射一个火球点燃火炬 $ C $，该火球运行的路线为抛物线，火球运行的最高点 $ D $ 距地面 $ 20 \mathrm{ m} $，与点 $ B $ 的水平距离为 $ 12 \mathrm{ m} $. 在地面上的 $ O $、$ A $ 两个观测点分别测得目标点火炬 $ C $ 的仰角为 $ \alpha $、$ \beta $，且 $ \tan \alpha = 0.6 $，$ \tan \beta = \frac{2}{3} $，已知 $ OA = 2 \mathrm{ m} $.
(1) 求火球运行轨迹的抛物线相应的函数表达式；
(2) 说明按(1)中轨迹运行的火球能否点燃火炬 $ C $.
答案：解：(1) 由题意，可知抛物线顶点D的坐标为(12，20)，点B的坐标为(0，2)
∴设抛物线相应的函数表达式为$y=a(x-h)^2+k，$即$y=a(x-12)^2+20$
∵点B在抛物线上
∴$2=a(0-12)^2+20，$即$a=- \frac {1}{8}$
∴该抛物线相应的函数表达式为：$y=- \frac {1}{8} x^2+3x+2(0≤x≤12+4 \sqrt{10} ) $
(2)过点C作CE⊥x轴，垂足为E
设CE=b，AE=a
则$ \begin{cases}{tanβ =\dfrac {b}{a}=\dfrac {2}{3}}\\{tanα=\dfrac b{a+2}=\dfrac 35}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=18}\\{b=12}\end{cases}$
则点C的坐标为(20，12)
当x=20时，函数值$y=- \frac {1}{8} ×20^2+3×20+2=12$
∴能点燃目标C
