20. （8 分）如图，已知在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$\tan B = \cos ∠ DAC$。
（1）求证：$AC = BD$；
（2）若$\sin C = \frac{12}{13}$，$BC = 12$，求$AD$的长。
答案：20. （1）
∵ tanB = $\frac{AD}{BD}$，cos∠DAC = $\frac{AD}{AC}$，tanB = cos∠DAC，
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{AD}{AC}$，
∴ BD = AC；（2）8.
21. (10 分)如图，在$Rt△ ABC$中，$AC = BC = 4$，$∠ C = 90^{\circ}$，点$P$是边$AB$中点，$∠ MPN = 90^{\circ}$，$∠ APN = θ$。
(1)点$N$在线段$AC$上，点$M$在线段$CB$上。
① 当$θ = 45^{\circ}$时，$CM$的值是
2
；
② 当$0^{\circ} ＜ θ ＜ 90^{\circ}$时，求$CM + CN$的值；
(2)点$N$在射线$AC$上，点$M$在射线$CB$上。当$0^{\circ} ＜ θ ＜ 135^{\circ}$时，直线$MN$与射线$PC$相交于点$F$，若$CM = 2CN$，求$\frac{CF}{PF}$的值。
答案：21. （1）① 2；② 4；（2）$\frac{CF}{PF}=\frac{4}{5}$.
解析：
(1)① 2
② 连接 $PC$，在 $Rt△ ABC$ 中，$AC = BC = 4$，$∠C = 90^{\circ}$，$P$ 为 $AB$ 中点，$\therefore PC = PA = PB$，$∠ACP = ∠BCP = 45^{\circ}$，$∠APC = 90^{\circ}$。$\because ∠MPN = 90^{\circ}$，$\therefore ∠APN + ∠NPC = ∠CPM + ∠NPC = 90^{\circ}$，$\therefore ∠APN = ∠CPM = θ$。在$△ APN$ 和$△ CPM$ 中，$∠ A = ∠ PCM = 45^{\circ}$，$PA = PC$，$∠ APN = ∠ CPM$，$\therefore △ APN ≌ △ CPM(ASA)$，$\therefore AN = CM$。$\because AC = AN + CN = 4$，$\therefore CM + CN = 4$
(2) 当点 $N$ 在线段 $AC$ 上，点 $M$ 在线段 $CB$ 上时，由②知 $CM + CN = 4$，$\because CM = 2CN$，$\therefore 2CN + CN = 4$，$CN = \frac{4}{3}$，$CM = \frac{8}{3}$。$PC = \frac{1}{2}AB = 2\sqrt{2}$，$AN = CM = \frac{8}{3}$，$CN = AC - AN = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$。设 $F$ 在 $PC$ 上，过 $F$ 作 $FG ⊥ AC$ 于 $G$，$FH ⊥ BC$ 于 $H$，设 $CF = x$，则 $FG = FH = \frac{\sqrt{2}}{2}x$。$\frac{FG}{CM} = \frac{CN - CG}{CN}$，$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\frac{8}{3}} = \frac{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}x}{\frac{4}{3}}$，解得 $x = \frac{8\sqrt{2}}{5}$，$PF = PC - CF = 2\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}}{5} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$，$\frac{CF}{PF} = 4$。当点 $N$ 在 $AC$ 延长线上，点 $M$ 在 $CB$ 延长线上时，同理可得 $CM - CN = 4$，$\because CM = 2CN$，$\therefore CN = 4$，$CM = 8$，$CF = \frac{8\sqrt{2}}{5}$，$PF = PC + CF = \frac{18\sqrt{2}}{5}$，$\frac{CF}{PF} = \frac{4}{9}$（舍去）。综上，$\frac{CF}{PF} = \frac{4}{5}$
$\frac{4}{5}$
22. （12 分）有一个圆球（球心为点$O$），从一个斜坡沿最短路径向下滚动，最终落在左侧的圆柱形坑的坑口上，其示意图如图（1）所示，点$B$是圆球与坡面的切点。已知坡面与水平面的夹角是$30^{\circ}$，球的半径是$\sqrt{3}$。
探究：（1）当球心$O$到坡底$A$的水平距离是$4\sqrt{3}$时，求球心$O$的高度。
（2）在球面上标记一点$P$，使$OP // AB$，在球向下滚动的过程中，当$OP$的箭头第一次指向竖直向下时，球滚动的距离是多少？
拓展：（3）当球在斜坡上向下滚动的距离是$7$时，它的高度会降低多少？在图（2）中画出示意图，并计算。
延伸：（4）当球落在坑口上时，球在水平面以上的部分的高度是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求坑口的半径。
答案：22. （1）6；（2）$\frac{4\sqrt{3}}{3}π$；（3）降低$\frac{7}{2}$；（4）坑口的半径为$\frac{3}{2}$.
