1. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$\sin A = \frac{2}{3}$，则$\tan B$的值为(
D
)
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
答案：1. D.
解析：
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$\sin A = \frac{2}{3}$。
设$BC=2k$，$AB=3k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(3k)^{2}-(2k)^{2}}=\sqrt{9k^{2}-4k^{2}}=\sqrt{5k^{2}}=\sqrt{5}k$。
在$△ABC$中，$∠A + ∠B = 90^{\circ}$，所以$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}k}{2k} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
D
2. 如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$都是等腰三角形，且$AB = AC = 5$，$A'B' = A'C' = 3$，若$∠ A$与$∠ A'$互补，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为(
C
)
A.$\sqrt{5}:\sqrt{3}$
B.$5:3$
C.$25:9$
D.$5\sqrt{5}:3\sqrt{3}$
答案：2. C.
解析：
解：设∠A=α，则∠A'=180°-α。
在△ABC中，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· AC·\sinα=\frac{1}{2}×5×5×\sinα=\frac{25}{2}\sinα$。
在△A'B'C'中，$S_{△A'B'C'}=\frac{1}{2}A'B'· A'C'·\sin(180°-α)=\frac{1}{2}×3×3×\sinα=\frac{9}{2}\sinα$。
故$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=\frac{\frac{25}{2}\sinα}{\frac{9}{2}\sinα}=\frac{25}{9}$，即面积比为25:9。
答案：C
3. 下列各式中，正确的是(
B
)
A.$\sin 40^{\circ} = \cos 40^{\circ}$
B.$\sin 50^{\circ} ＜ \sin 70^{\circ}$
C.$\cos 40^{\circ} ＞ \cos 10^{\circ}$
D.$\tan 20^{\circ} ＞ \tan 70^{\circ}$
答案：3. B.
4. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A = 60^{\circ}$，$a + b = 3 + \sqrt{3}$，则$a$的值为(
D
)
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3} + 1$
D.$3$
答案：4. D.
解析：
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$∠A=60^{\circ}$，则$∠B=30^{\circ}$。
设$b=x$，因为在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，所以斜边$c=2x$。
根据勾股定理，$a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{(2x)^2 - x^2}=\sqrt{3}x$。
已知$a + b = 3 + \sqrt{3}$，即$\sqrt{3}x + x = 3 + \sqrt{3}$，$x(\sqrt{3} + 1)=3 + \sqrt{3}$，解得$x=\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}=\sqrt{3}$。
所以$a=\sqrt{3}x=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$。
D
5. 已知一个直角三角形的周长是$4 + \sqrt{26}$，斜边上的中线长是$2$，则这个三角形的面积是(
B
)
A.$5$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{5}{4}$
D.$1$
答案：5. B.
解析：
设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$。
因为直角三角形斜边上的中线长是$2$，所以斜边$c = 2×2 = 4$。
已知三角形周长是$4+\sqrt{26}$，则$a + b + c=4+\sqrt{26}$，所以$a + b=4+\sqrt{26}-c=4+\sqrt{26}-4=\sqrt{26}$。
由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2 = 16$。
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，即$(\sqrt{26})^2=16 + 2ab$，$26=16 + 2ab$，解得$ab = 5$。
三角形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
B
6. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$AB$，$AD$的中点，若$EF = 4$，$BC = 10$，$CD = 6$，则$\tan C$的值等于(
D
)
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案：6. D.
解析：
解：连接BD。
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF = $\frac{1}{2}$BD，
∵EF = 4，
∴BD = 8。
在△BCD中，BD = 8，BC = 10，CD = 6，
∵$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC = 90°，
∴$\tan C = \frac{BD}{CD} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
答案：D
7. 如图，已知在$Rt△ ABC$中，$CD$为斜边$AB$上的高，若$AD = 8$，$BD = 4$，则$\tan A$的值为(
A
)
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{8}$
答案：7. A.
解析：
解：在$Rt△ ABC$中，$CD$为斜边$AB$上的高，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，$∠ B + ∠ BCD = 90°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ B$，
又$\because ∠ ADC = ∠ CDB = 90°$，
$\therefore △ ACD ∼ △ CBD$，
$\therefore \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$，
即$CD^2 = AD · BD = 8 × 4 = 32$，
$\therefore CD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
在$Rt△ ACD$中，$\tan A = \frac{CD}{AD} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
A
8. 已知$α$为锐角，且$\cos(90^{\circ} - α) = \frac{1}{2}$，则$α$的度数是
$30^{\circ}$
。
答案：8. $30^{\circ}$.
解析：
解：因为$\cos(90^{\circ} - α) = \frac{1}{2}$，且$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$，所以$90^{\circ} - α = 60^{\circ}$，解得$α = 30^{\circ}$。$30^{\circ}$
9. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$a = \sqrt{5}$，$b = \sqrt{15}$，则$∠ A$的度数为
$30^{\circ}$
。
答案：9. $30^{\circ}$.
解析：
解：在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{15}$，
$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$∠A=30^{\circ}$.
10. 如图，在$△ ABC$中，$\sin B = \frac{1}{3}$，$\tan C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AB = 3$，则$AC$的长为
$\sqrt{3}$
。
答案：10. $\sqrt{3}$.
解析：
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$，$AB = 3$，则$AD = AB · \sin B = 3 × \frac{1}{3} = 1$。
在$Rt△ ADC$中，$\tan C = \frac{AD}{DC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AD = 1$，则$DC = \frac{AD}{\tan C} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$。
由勾股定理得$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$
11. 计算：$3\tan 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} - 2\cos 30^{\circ} =$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。
答案：11. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析：
$3×\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
12. 在$□ ABCD$中，若$AB = 3\ cm$，$BC = 5\ cm$，$∠ ABC = 45^{\circ}$，则$S_{□ ABCD} =\_\_\_\_\_\_cm^{2}$。
答案：12. $\frac{15\sqrt{2}}{2}$.
解析：
过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$。在$Rt△ ABE$中，$∠ ABE = 45^{\circ}$，$AB = 3\space cm$，则$AE = AB · \sin 45^{\circ}=3×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\space cm$。$S_{□ ABCD}=BC · AE = 5×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{15\sqrt{2}}{2}\space cm^{2}$。
$\frac{15\sqrt{2}}{2}$
