设点$ A $的坐标为$ (x,y) $，因为点$ A $在双曲线$ y = \frac{k}{x} $上，所以$ xy = k $。
$ AB $垂直$ x $轴于点$ B $，则$ OB = |x| $，$ AB = |y| $。
$ △ ABO $的面积为$ \frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2} |x| |y| = 2 $，即$ \frac{1}{2} |xy| = 2 $，$ |xy| = 4 $，所以$ |k| = 4 $，$ k = \pm 4 $。
抛物线$ y = -(x + 1)^2 + k $的顶点坐标为$ (-1, k) $，当$ k = 4 $时，顶点坐标为$ (-1, 4) $；当$ k = -4 $时，顶点坐标为$ (-1, -4) $。
D

解：
∵点$A(1,3)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，
∴$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
∵点$B(c,-1)$在反比例函数$y = \frac{3}{x}$上，
∴$-1=\frac{3}{c}$，解得$c=-3$，即$B(-3,-1)$。
∵点$A(1,3)$、$B(-3,-1)$在一次函数$y=ax+b$上，
∴$\begin{cases}a+b=3\\-3a+b=-1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$。
∴$k - a=3 - 1=2$。
答案：A

解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{2}{a})$，其中$a＞0$。
因为$AB // x$轴，所以点$B$的纵坐标与点$A$相同，为$\frac{2}{a}$。
又因为点$B$在双曲线$y_2 = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$上，所以点$B$的横坐标为$x = \frac{k}{\frac{2}{a}}=\frac{ak}{2}$，即点$B$的坐标为$(\frac{ak}{2},\frac{2}{a})$，其中$\frac{ak}{2}＜0$。
$AB$的长度为点$A$与点$B$横坐标之差的绝对值，即$AB = a - \frac{ak}{2}$（因为$a＞0$，$\frac{ak}{2}＜0$）。
$△ ABC$的高为点$A$（或点$B$）的纵坐标的绝对值，即$\frac{2}{a}$。
已知$△ ABC$的面积是$4$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × AB × \frac{2}{a} = 4$
将$AB = a - \frac{ak}{2}$代入上式：
$\frac{1}{2} × (a - \frac{ak}{2}) × \frac{2}{a} = 4$
化简得：
$\frac{1}{2} × (1 - \frac{k}{2}) × 2 = 4$
$1 - \frac{k}{2} = 4$
$-\frac{k}{2} = 3$
解得$k = -6$。
答案：A. $-6$

解：由反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$，可得：
当$x=-2$时，$a = \frac{k}{-2}=-\frac{k}{2}$；
当$x=-1$时，$b = \frac{k}{-1}=-k$；
当$x=1$时，$c = \frac{k}{1}=k$；
当$x=2$时，$d = \frac{k}{2}$。
选项A：若$a ＞ b$，即$-\frac{k}{2} ＞ -k$，解得$k ＞ 0$。此时$c = k$，$d=\frac{k}{2}$，则$c ＞ d$，A成立。
选项B：若$a ＜ b$，即$-\frac{k}{2} ＜ -k$，解得$k ＜ 0$。此时$c = k$，$d=\frac{k}{2}$，则$c ＜ d$（负数比较大小，绝对值大的反而小），B成立。
选项C：若$b ＞ c$，即$-k ＞ k$，解得$k ＜ 0$。此时$c = k$，$d=\frac{k}{2}$，则$c ＜ d$，C不成立。
选项D：若$a ＜ c$，即$-\frac{k}{2} ＜ k$，解得$k ＞ 0$。此时$b=-k$，$d=\frac{k}{2}$，则$b ＜ d$，D成立。
综上，判断不成立的是C。
答案：C

解：
∵ 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 经过点 $ A(2,1) $，
∴ $ 1 = \frac{k}{2} $，解得 $ k = 2 $，函数解析式为 $ y = \frac{2}{x} $。
当 $ y ≤ 1 $ 时：
若 $ x ＞ 0 $，则 $ \frac{2}{x} ≤ 1 $，解得 $ x ≥ 2 $；
若 $ x ＜ 0 $，则 $ \frac{2}{x} ＜ 0 ≤ 1 $，恒成立。
综上，$ x $ 的取值范围是 $ x ＜ 0 $ 或 $ x ≥ 2 $。
答案：C